自然数的和究竟等于多少——颠覆你的常识系列三

广告插入：伯特兰盒子悖论——颠覆你的常识系列二。

相信大家都听过这样一个荒谬的说法：$1+2+3+4+\cdots =-\frac{1}{12}$，也就是所有的自然数之和等于一个定值，且是一个负数，这是咋证明出来的呢？让我们看这里：

首先我们需要知道几个式子：

1. $1-1+1-1+1-1+\cdots =\frac{1}{2}$

   证明：设 $A=1-1+1-1+1-1+\dots$，则：

   $\begin{array}{rl}\therefore A& =1-1+1-1+1-1+1-1+\dots \\ & =1-(1-1+1-1+1-1+\dots )\\ & =1-A\end{array}$

   $\therefore A=\frac{1}{2}$

2. $1-2+3-4+5-6+7-8+\cdots =\frac{1}{4}$
   证明：设 $B=1-2+3-4+5-6+7-8+\dots$，则：
   $\begin{array}{rl}\therefore 2\times B& =1-2+3-4+5-6+7-8+\cdots +1-2+3-4+5-6+7-8+\dots \\ & =1+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+(5-4)+(-6+5)+\dots \\ & =1-1+1-1+1-1+1-1+\dots \\ & =\frac{1}{2}\end{array}$
   $\therefore B=\frac{1}{4}$

好了，有了这些基础知识，我们就可以开始算 $1+2+3+4+5+6+7+8+\dots$ 了。

设 $C=1+2+3+4+5+6+7+8+\dots$，则：

$\therefore 4\times C=4+8+12+16+20+\dots$

$\begin{array}{rl}\therefore C-4\times C& =1+2+3+4+5+6+\cdots -4-8-12-16-20-\dots \\ & =1+(2-4)+3+(4-8)+\dots \\ & =1-2+3-4+5-6+7-8+\dots \\ & =\frac{1}{4}\end{array}$

$\therefore C=1+2+3+4+5+6+7+8+\cdots =-\frac{1}{12}$

其实学过高数的同学早就已经发现问题了：我们一开始求得这个数列 $1-1+1-1+1-1+\dots$ 本身就是没有意义的，因为在高数中要算一个无穷级数的和首先就得满足收敛。收敛指什么呢？

收敛就是指一个无穷级数求和的函数图像会逐渐平缓，最终趋于一条直线，比如 $\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots$ 的函数图像就长这样：

我们会发现它逐渐趋向于一条直线，所以我们可以算出来它的值就是 $\frac{\pi }{4}$。

而 $1-1+1-1+1-1+1-1+\dots$ 就不一样了，它的函数图像明显长这样：

一直在 $1$ 和 $0$ 之间跳动，所以说我们并不能算出 $1-1+1-1+1-1+\dots$ 到底等于多少。

再比如说 $1+1+1+1+1+1+1+1+\dots$ 等于多少呢？

我们会发现它的函数图像长这样：

逐渐王远处跑，所以我们也是算不出来这个式子到底等于几的。

但这就有很多人反驳了：那作者你怎么给我解释一下卡西米尔效应？

卡西米尔效应，其实就是在真空中把两块铁板靠的很近很近，那么这两块铁板之间就会因为量子的涨落而带来一定的斥力，而这个斥力的大小与量子场内的驻波的波节的个数成正比。这个力的大小之间的比值就是驻波的波节的个数。也就是他们之间的斥力为 $F+2F+3F+\dots$。

但是物理学家们不管是实际验证还是用其他方法计算，都发现了一个惊人的事实：这个几个力的合力竟然朝里，且大小就是 $\frac{1}{12}F$。

再比如说黎曼函数 $\zeta (z)=\frac{1}{1^z}+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\dots ,\mathrm{Re}(z)>1$，那么当我们把 $z=-1$ 时，原式就成了自然数的求和，而这个黎曼函数算出来的值就是 $-\frac{1}{12}$。

所以一会成立一会又不成立，这个式子到底等于多少呢？作者也不知道，建议大家去看看这个视频，或许能帮助你理解。（主要是作者的脑容量不够了……）