9、圆形 - 线性流场图的运动模式建模

圆形 - 线性流场图的运动模式建模

1. 速度建模基础分布

在对速度的可变性进行建模时，我们引入了半包裹正态分布（Semi - Wrapped Normal Distribution，SWND）。速度 $\mathbf{V} = (\theta, \rho)^T$，其中 $\rho \in R^+$ 表示速度大小，$\theta \in [0, 2\pi)$ 表示方向。

• 包裹正态分布 ：对于圆形变量（如平面运动的方向）的概率密度函数（PDF）建模，可使用包裹 PDF。包裹正态分布（$N_W^{\mu,\Sigma}$）的 PDF 定义为：
  [N_W^{\mu,\Sigma}(\theta) = \sum_{k\in Z} N_{\mu,\Sigma}(\theta + 2k\pi) \quad \theta \in [0, 2\pi)]
  这里，$\mu$ 和 $\Sigma$ 分别表示分布的均值和方差，$k$ 是缠绕数，表示函数围绕单位圆缠绕的总次数。实际计算中，当 $\Sigma > 2\pi$ 时，可近似取 $k \in {-1, 0, 1}$；当 $\Sigma < 2\pi$ 时，取 $k = 0$。
• 半包裹正态分布 ：速度的第二个分量是速度大小 $\rho$，它是一个非包裹变量。描述速度的 SWND 的 PDF 可表示为：
  [N_{SW}^{\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}}(\mathbf{V}) = \sum_{k\in Z} N_{\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigm