6、群论中的子群相关知识解析

群论中的子群相关知识解析

1. 子群的基本概念与判定

1.1 子群判定示例

在群论中，判定一个集合是否为子群是基础且重要的内容。例如，设集合 (K)，已知 (0 \in H)（(H \leq (\mathbb{R}, +))），因为 (2^0 = 1 \in K)，所以 (K) 非空。对于任意 (a,b \in H)，由于 (H) 是群 ((\mathbb{R}, +)) 的子群，所以 (-b \in H)，进而 (a - b \in H)。又因为 (2^a \in K)，(2^b \in K)，可得 (2^a(2^b)^{-1} = 2^{a - b} \in K)。根据一步子群检验法，可判定 (K) 是子群。

再看集合 (H = {a + bi : a, b \in \mathbb{R}, a^2 + b^2 = 1})，因为 (1 + 0i = 1 \in H)，所以 (H) 非空。对于任意 (a + bi \in H) 和 (c + di \in H)，有 (a^2 + b^2 = 1) 且 (c^2 + d^2 = 1)。计算 ((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i)，且 ((ac - bd)^2 + (bc + ad)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + b^2c^2 + a^2d^2 = a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 1)，所以 ((a + bi)(c + di) \in H)。同时，((a + bi)^{-1} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = a - bi \in H)。依据两步子群检验法，可判