4、群论中的有限群与子群：基础概念与应用

群论中的有限群与子群：基础概念与应用

在群论的研究中，有限群是一个重要的领域。有限群常常在考虑对称对象时出现，这些对象只允许有限数量的结构保持变换。下面我们将深入探讨有限群的相关概念，包括群的阶、元素的阶，以及一些特殊类型的有限群。

1. 群的基本概念与性质

首先，我们来了解一些群的基本定义。群的阶定义为群中元素的数量，用 (|G|) 或 (o(G)) 表示。例如，整数加法群具有无限阶，而 (U(12) = {1, 5, 7, 11}) 在模 12 乘法下的群阶为 4。

元素的阶则是指使得 (a^n = e)（(e) 为群的单位元）的最小正整数 (n)，记为 (o(a))。如果不存在这样的正整数，则称元素 (a) 具有无限阶。

以下是一些关于元素阶的重要性质：
- 元素与其逆元阶相同 ：对于任意 (a \in G)，有 (o(a) = o(a^{-1}))。证明如下：设 (o(a) = n)，则 (a^n = e)，进而 (a^{-n} = e^{-1} = e)，即 ((a^{-1})^n = e)。假设存在正整数 (m) 使得 ((a^{-1})^m = e)，则 (a^{-m} = e)，即 (a^m = e)，由于 (o(a) = n)，所以 (m \geq n)，因此 (o(a^{-1}) = n = o(a))。
- 共轭元素阶相同 ：对于任意 (a \in G) 和 (x \in G)，有 (o(x^{-1}ax) = o(a))。证明：设 (o(a) = n)，则 ((x^{-1}ax)^n = x^{-1}a^nx = x^{-1}ex = e)。