9、由反射生成的群相关知识解析

由反射生成的群相关知识解析

1. 反射生成群的基础条件与初步结果

在研究由反射生成的群时，我们先设定一些基础条件。设 (E) 是一个有限维 (d) 的实仿射空间，(T) 是 (E) 的平移空间，且 (T) 配备了一个标量积 ((t|t’))，对于 (t \in T)，定义 (|t| = (t|t)^{\frac{1}{2}})，函数 (d(x,y) = |x - y|) 是 (E) 上的距离，它定义了 (E) 的拓扑。

设 (\mathfrak{H}) 是 (E) 的一组超平面，(W) 是由关于超平面 (H \in \mathfrak{H}) 的正交反射 (S_H) 生成的欧几里得空间 (E) 的位移群。这里满足两个条件：
- (D1) 对于任意 (w \in W) 和任意 (H \in \mathfrak{H})，超平面 (w(H)) 属于 (\mathfrak{H})。
- (D2) 配备离散拓扑的群 (W) 适当地作用于 (E)。由于 (E) 是局部紧的，条件 (D2) 等价于：对于 (E) 的任意两个紧子集 (K) 和 (L)，使得 (w(K)) 与 (L) 相交的 (w \in W) 的集合是有限的。

基于这些条件，我们有以下初步结果：
- 引理 1 ：超平面集合 (\mathfrak{H}) 是局部有限的。证明过程如下：设 (K) 是 (E) 的一个紧子集，如果超平面 (H \in \mathfrak{H}) 与 (K) 相交，由于 (K \cap H) 中的每个点都被 (S_H) 固定，所以 (S_H(K)) 也与 (K) 相交。根据上述等价条件，与 (K) 相交的 (H \in \mathfrak