5、有限群与子群：概念、测试与实例解析

有限群与子群：概念、测试与实例解析

1. 子群的基本概念

在群论中，子群是一个重要的概念。首先，我们来看一些相关的定义。
- 定义 1 ：若集合 (GL(2, R) = {A : A) 是 (R) 上的 (2×2) 矩阵，且 (|A| ≠ 0})，在矩阵乘法下构成一个群；集合 (SL(2, R) = {A : A) 是 (R) 上的 (2×2) 矩阵，且 (|A| = 1})，同样在矩阵乘法下构成一个群，并且 (SL(2, R)) 是 (GL(2, R)) 的子集。
- 定义 2 ：群 (G) 的非空子集 (H)，若在 (G) 的运算下 (H) 本身也是一个群，则称 (H) 是 (G) 的子群，记作 (H ≤ G)。
- 定义 3 ：若 (H) 是 (G) 的子群，但 (H) 不等于 (G) 本身，则称 (H) 是 (G) 的真子群，记作 (H < G)。

需要注意的是，如果 (H) 是 (G) 的子群，那么 (H) 的运算与 (G) 的运算相同。例如，(\mathbb{Z}_n) 在模 (n) 加法下不是 (\mathbb{Z}) 在加法下的子群，因为模 (n) 加法不是 (\mathbb{Z}) 的运算。

子群的概念很有用，因为它为我们提供了一种简单的方法来证明某些集合是群。如果已知 (G) 是一个群，且 (H) 是 (G) 的子群，那么我们无需检查群定义中的所有公理，就可以得出 (H) 是一个群的结论。

群 (G) 中，子集 ({e}) 和 (G) 本身是 (G) 的平凡子群，其他子群则称为非平凡子群。在验