11、群论中的陪集、正规子群及相关定理

群论中的陪集、正规子群及相关定理

1. 特定元素的存在性与唯一性

在群论中，对于某些特定性质的元素存在性和唯一性的探讨是很重要的。假设存在一个群(G)和它的子群(H)，存在元素(b \notin H)使得(G = H \cup Hb)。因为(b \notin H)，所以(b^2 \notin Hb)，进而(b^2 \in H)。此时(b^2)的阶(o(b^2))要么为(1)，要么为(p)（(p)为奇数）。若(o(b^2) = p)，则(o(b) = 2p)，这与(G)中不存在阶为(2p)的元素这一假设矛盾，所以(o(b^2) = 1)，即(b^2 = e)，从而(o(b) = 2)，(b)就是所需的阶为(2)的元素。

关于唯一性，假设存在两个不同的阶为(2)的元素(x)和(y)，令(H = \langle x \rangle = {e, x})，(K = \langle y \rangle = {e, y})，那么(H \cap K = {e})。由于(G)是阿贝尔群，(HK = KH)，且(o(HK) = \frac{o(H)o(K)}{o(H \cap K)} = 4)。但(G)的阶(o(G) = 2p)（(p)为奇素数），(4)不能整除(2p)，所以(G)不能有阶为(4)的子群，这就说明假设不成立，即阶为(2)的元素是唯一的。

2. 子群交集的阶

对于群(G)的两个子群(H)和(K)，若(o(H) = 12)，(o(K) = 35)，求(o(H \cap K))。因为(o(H \cap K))既能整除(o(H))又能整除(o(K))，也就是(o(H \cap K))能整除(12)和(35)，而(\gcd(12, 35) = 1)，所以(o(H \ca