9、群论中的置换与陪集知识解析

群论中的置换与陪集知识解析

1. 置换相关概念与问题

在群论中，置换是一个重要的概念。我们先来看一些关于置换的定义和性质。
- 偶置换和奇置换 ：
- 定义：一个可以写成偶数个 2 - 循环乘积的置换称为偶置换；一个可以写成奇数个 2 - 循环乘积的置换称为奇置换。而且，每个置换要么是奇置换，要么是偶置换，这是明确的。
- 示例：对于一个长度为 (k) 的循环 (\sigma = (a_1a_2 \cdots a_k))，它可以写成 (\sigma = (a_1a_k)(a_1a_{k - 1}) \cdots (a_1a_2))，这是 ((k - 1)) 个 2 - 循环的乘积。当 (k) 为奇数时，(k - 1) 为偶数，所以 (\sigma) 是偶置换；当 (k) 为偶数时，(k - 1) 为奇数，所以 (\sigma) 是奇置换。
- 置换问题求解 ：
- 问题 4.14 ：已知 (b = (1 2 3)(1 4 5) = (1 4 5 2 3))，求 (b^{99}) 的循环形式。因为 (o(b) = 5)，即 (b^5 = I)，那么 (b^{100} = I)，所以 (b^{99} = b^{-1} = (3 2 5 4 1) = (1 3 2 5 4))。
- 问题 4.15 ：已知 (b \in S_7) 且 (b^4 = (2 1 4 3 5 6 7))，求 (b)。由于 (b^4) 的循环长度为 7，所以 (o(b^4) = 7)，(b^8 = b^4 \cdot b^4 = (2 4 5