lightoj 1236 - Pairs Forming LCM 【唯一分解定理】

题目链接：lightoj 1236 - Pairs Forming LCM

题意：问你满足$lcm(i, j) = n(i <=j)$的$(i, j)$有多少对。

思路：这东西肯定要先搞下质因子。由于$n <= 10^{14}$，那么我们预处理质因子到$10^7$就$OK$了，最后$>=10^7$的质因子最多只会有一个。我们将$n$分解为若干个质因子$a[i](1 <= i <= k)$。
由唯一分解定理——$n = \prod_{i=1}^n(a[i]^{cnt[i]}))(cnt[i]是因子a[i]的个数)$。
我们想得到$lcm(i, j) = n$就必须满足$i*j / gcd(i, j)$的质因子与$n$的质因子完全相同。那我们考虑单个质因子$a[i]$：假设$i = a[i]^x$，$j =a[i]^y$ 。
这样$i*j/gcd(i, j) = a[i]^{x+y-min(x, y)}$，则有$x+y-min(x, y) = cnt[i]$。
一、$x = cnt[i]$，显然$cnt[i] + y - y = cnt[i]$，y值任意$0 <= y <=cnt[i]$；
二、$0 <= x < cnt[i]$，显然要满足等式，$y = cnt[i]$；
这样对于一个因子$a[i]$，方案数为$(cnt[i] + 1 + cnt[i])$，但是$(i, j)$和$(j, i)$肯定是重复计算，结果要除$2$。又去掉了$(n, n)$的情况，加一即可。

$AC$代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <stack>
#define PI acos(-1.0)
#define CLR(a, b) memset(a, (b), sizeof(a))
#define fi first
#define se second
#define ll o<<1
#define rr o<<1|1
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> pii;
const int MAXN = 1e7 + 1;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
void getmax(int &a, int b) {a = max(a, b); }
void getmin(int &a, int b) {a = min(a, b); }
void add(LL &x, LL y) { x += y; x %= MOD; }
bool vis[MAXN];
const int N = 1e6;
int prime[N], top;
void getprime() {
    top = 0;
    for(int i = 2; i < MAXN; i++) {
        if(vis[i]) continue;
        prime[top++] = i;
        for(int j = 2; j * i < MAXN; j++)
            vis[j*i] = true;
    }
}
int k, cnt[N];
void getp(LL n) {
    LL m = n; k = 0;
    for(int i = 0; i < top; i++) {
        if(m % prime[i] == 0) {
            int num = 0;
            while(m % prime[i] == 0) {
                num++;
                m /= prime[i];
            }
            cnt[k++] = num;
        }
        if(prime[i] > n) break;
    }
    if(m > 1) {
        cnt[k++] = 1;
    }
}
int main()
{
    getprime();
    //cout << top << endl;
    int t, kcase = 1; scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        LL N; scanf("%lld", &N);
        getp(N);
        LL ans = 1LL;
        for(int i = 0; i < k; i++) {
            ans = ans * (cnt[i] * 2 + 1);
        }
        ans >>= 1;
        printf("Case %d: %lld\n", kcase++, ans + 1);
    }
    return 0;
}