唯一分解定理入门---分解质因数

最新推荐文章于 2024-08-24 23:20:31 发布

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分类专栏：唯一分解定理

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/CYBCLOUD/article/details/86551802

本文介绍了算术基本定理（唯一分解定理），阐述了大于1的自然数能被唯一分解为质数乘积的原理。讨论了如何利用这一定理解决数论问题，包括计算正因数个数、最大公因子和最小公倍数，并通过三个具体的编程题目（Pairs Forming LCM、Aladdin and the Flying Carpet、Mysterious Bacteria）展示了在实际问题中的应用，如求最小公倍数、寻找特定条件的数对以及求解指数问题。

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算术基本定理（唯一分解定理）

认识：　
任何大于１的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积

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这里P均为质数，其指数a是正整数。
这样的分解称为的标准分解式。

唯一分解定理的基本应用：

① 一个大于1的正整数N，将其化成标准分解式N = p1^a1 * p2^a2 *....pn^an(例如24 = 2^3 * 3^1),那么N的正因数个数为σ1(N) = (a1+1)*(a2+1)*....(an+1)（因子各不相同）

（p1..pn为N的素因子，a1...an为各素数的幂）

② 所有正因数之和为σ2 = （1+p1+p1^2+...p1^a1）* (1+p2+p2^2+....p2^a2) * ..... *(1+pn+pn^2+.....pn^an);当σ2（N） = 2*N时称N为完全数，是否存在奇完全数，尚不明确

③ 利用算数基本定理可以重新定义a和b的最大公因子（a,b）和最小公倍数（a,b）， a*b= 最大公因子（a,b）* 最小公倍数（a,b）

唯一分解定理模板

void find_prime()//素数打表
{
    k=0;
    for(ll i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!p[i])
        {
            prim[k++]=i;//储存质素
            for(ll j=i*2;j<maxn;j+=i)
            {
                p[j]=1;
            }
        }
    }
}
ll slove(ll a)
{
    ll s=1;
    for(int i=0;i<k&&a;i++)
    {
        ll x=0;
        if(prim[i]>a)
            break;
        //核心代码 按顺序对素数取余,得到该素数的指数
        while(a%prim[i]==0)//注意是while啊!
        {
            a/=prim[i];
            x++;
        }
        s*=(x+1);//得到一个素数的指数后用公式
    }
    if(a>1)
    {
        s*=(1+1);//如果a不能被整分，说明a还有一个素数是它的约数，此时x=1,所以是1+1,
    }

    return s;
}