LightOJ 1236 - Pairs Forming LCM (LCM·唯一分解)

最新推荐文章于 2022-02-09 16:45:00 发布

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本文介绍了一种优化算法，用于高效计算给定数n时满足lcm(a,b)==n且a<=b的(a,b)对数数量。通过分解n为素数指数积并考虑每个素因子在a和b中的可能分配，该算法显著减少了计算时间，避免了直接遍历所有可能组合导致的时间复杂度过高问题。

题意给你一个数n 求满足lcm(a, b) == n， a <= b 的 (a,b) 的个数

容易知道 n 是a, b的所有素因子取在a, b中较大指数的积

先将n分解为素数指数积的形式 n = π(pi^ei) 那么对于每个素因子pi pi在a,b中的指数ai, bi 至少有一个等于pi，另一个小于等于pi

先不考虑a, b的大小对于每个素因子pi

1. 在a中的指数 ai == ei 那么 pi 在 b 中的指数可取 [0, ei] 中的所有数有 ei + 1 种情况

2. 在a中的指数 ai < ei 即 ai 在 [0, ei) 中那么 pi 在 b 中的指数只能取 ei 有 ei 种情况

那么对与每个素因子都有 2*ei + 1种情况也就是满足条件的 (a, b) 有 π(2*ei + 1)个考虑大小时除了 (n, n) 所有的情况都出现了两次那么满足a<=b的有 (π(2*ei + 1)) / 2 + 1 个

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e7 + 5;
int pme[N / 10], m;
bool vis[N];

void initPrime() //线性筛
{
    m = 0;
    for(int i = 2; i < N; ++i)
    {
        if(!vis[i]) pme[m++] = i;
        for(int j = 0; j < m && pme[j] * i < N; ++j)
        {
            vis[pme[j] * i] = 1;
            if(i % pme[j] == 0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    initPrime();
    ll n, ans, c;
    int T, cas = 0;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld", &n);
        ans = 1;
        for(int i = 0; i < m; ++i)
        {
            if(ll(pme[i])*pme[i] > n) break;
            c = 0;
            while( n % pme[i] == 0)
            {
                n /= pme[i];
                ++c;
            }
            if(c) ans *= c * 2 + 1;
        }
        if(n > 1) ans *= 3;

        printf("Case %d: %lld\n", ++cas, ans / 2 + 1);
    }

    return 0;
}

1236 - Pairs Forming LCM

Find the result of the following code:

long long pairsFormLCM( int n ) {
  long long res = 0;
  for( int i = 1; i <= n; i++ )
  for( int j = i; j <= n; j++ )
if( lcm(i, j) == n ) res++; // lcm means least common multiple
  return res;
}

A straight forward implementation of the code may time out. If you analyze the code, you will find that the code actually counts the number of pairs (i, j) for which lcm(i, j) = n and (i ≤ j).