线性方程组的几何解释

本文是参考网易公开课上的线性代数视频所写。

线性方程组Ax = b，可以从两个角度来看待这个问题：

第一，把 A  看成行向量矩阵，那么线性方程组可以写作：

                           

第二，把 A 看成列向量矩阵，那么线性方程组可以写作：

                       

那么，也就是，，即是说，向量 b 可以表示成系数矩阵列向量的线性组合。即是通过列向量的线性组合来构造一个新的向量。未知数 x 可以看成列向量的系数。

但是，方程组Ax = b 有解吗？即对任意 b，是否都能求出 x？ 实际上，该问题等价于：矩阵 A 的列向量的线性组合是否可以填满整个 n 维空间？ 所以，可以想象，如果A 的列向量在n维空间中至少有两个是线性的，或至少有1个可以用其它的几个列向量线性表示，那么该方程组就不一定有解。举个例子，在三维空间中，有三个向量：x1，x2，x3，但是这三个向量假如是共面的，那么，对于任意 b，除非 b 和 x1，x2，x3这三个向量也共面，才能把 b 表示成三向量的线性组合，否则，方程组无解。