用母函数证明一个基本的组合公式

用母函数证明一个基本的组合公式

在这里先说明下，母函数可以是无穷的，但在现在的讨论中是有限的。

根据newton公式有:

(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)*x^2+...+C(n,n)*x^n

注意其中C(n,r)为x^r的系数.

Go

(1+x)^n=x^n * {  C(n,0)*(1/x)^n+C(n,1)*(1/x)^(n-1)+C(n,2)*(1/x)^(n-2)+...+C(n,n)*(1/x)^(n-n) }

Go

注意其中C(n,n-r)为(1/x)^r的系数.

从母函数的角度看，当值为x,1/x系数应该相同，所以有C(n,r)=C(n,n-r).

其中还有的疑问是：怎样说明母函数展开的性质，也就是为什么系数应该相同？这个问题要从母函数的定义寻找。