母函数基础

母函数的两种形式

1.普通型母函数
给定一个无穷序列$(a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdots)$,简记为$\{a_n\}$,称函数

$$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots = \sum_{i = 0}^{\infty}a_ix^i$$ 为序列$(a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdots)$的普通母函数

ex1. 序列$\left({n \choose 0},{n \choose 1},\cdots,{n \choose n}\right)$ 的普通母函数为 $f(x) = (1 + x) ^ n$
ex2.序列$\left({1 \choose 0},{2 \choose 1},\cdots,{2n \choose n}\right)$ 的普通母函数为 $f(x) = (1 - 4x) ^{-\frac 12}$

2.指数型母函数
给定一个无穷序列$(a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdots)$,简记为$\{a_n\}$,称函数

$$f_e(x) = a_0 + a_1\frac x{1!} + a_2\frac {x^2}{2!} + \cdots + a_n\frac {x^n}{n!} + \cdots = \sum_{i = 0}^{\infty}a_i\frac {x^i}{i!}$$ 为序列$(a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdots)$的指数母函数
指数母函数也是形式幂级数

ex1.序列$\left(P(n,0),P(n,1),\cdots,P(n,n)\right)$ 的指数母函数为 $f_e(x) = (1 + x) ^ n$

所以说普通母函数更适用于包含组合数的序列，因为它具有牛顿二项式的形式。而指数母函数则更适合具有排列数的数列。

母函数的基本运算

1.普通型母函数
设A(x),B(x),C(x)分别是序列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$,$\{c_n\}$的母函数
C(x) = A(x) + B(x) 当且仅当对 $\forall i>=0$, 有 $c_i = a_i + b_i$
C(x) = A(x)B(x) 当且仅当对 $\forall i>=0$, 有 $c_i = \sum_{j=0}^ia_j b_{i-j}$

ex1.设A(x)是序列$(a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdots)$的普通母函数，则$\frac {A(x)}{1-x}是序列(a_0,a_0 + a_1,\cdots,\sum_{i=0}^na_i,\cdots)$的普通母函数

2.指数型母函数
设A(x),B(x),C(x)分别是序列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$,$\{c_n\}$的母函数
C(x) = A(x) + B(x) 当且仅当对 $\forall i>=0$, 有 $c_i = a_i + b_i$
C(x) = A(x)B(x) 当且仅当对 $\forall i>=0$, 有 $c_i = \sum_{j=0}^i{i \choose j}a_j b_{i-j}$

母函数的简单应用

ex1 ：从 n 个物体中允许重复选取 r 个物体的方式数为 $F(n,r) ={n + r - 1 \choose r}$
[证明] ：考虑式子 $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$的意义，表示的就是当前这种选择出现 i 次的方案数为 $a_i$
设 $a_r$ 表示从 n 个物体中允许重复选取 r 个物体的方式数，则$\{a_n\}$的母函数为

$$f(x) = (\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^n = (\frac 1{1 - x})^n = (1 - x)^{-n} = \sum_{r = 0}^{\infty}{n + r - 1 \choose r}x^r$$ 所以$F(n,r) = {n + r - 1 \choose r}$

ex2.求1，3，5，7，9 5个数字组成 r 位数的个数，其中要求1，3出现偶数次。
该函数的指数型母函数为

$$\begin{align} f_e(x) & = (1 + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^4}{4!} + \cdots)^2(1 + x + \frac {x^2}{2!} + \cdots)^3 \\ & =\frac 14(e^{5x} + 2e^{3x} + e^x) \\ & = \frac 14(\sum_{r=0}^{\infty} \frac {5^r}{r!}x^r + 2\sum_{r=0}^{\infty}\frac{3^r}{r!}x^r + \sum_{r = 0}^{\infty}\frac {x^r}{r!}) \\ \end{align}$$
所以有 $a_r = \frac 14(5^r + 2 * 3^r + 1)$

母函数求解递归关系

ex1.用母函数求解斐波那契数列通项公式

设它的普通母函数为$F(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}F_nx^n$

$$\begin{align} F(x) &= F_0 + F_1x + \sum_{n = 2}^{\infty}(F_{n - 1} + F_{n - 2})x^n \\ & = F_0 + F_1x + x\sum_{n = 2}^{\infty}F_{n-1}x^{n - 1} + x^2\sum_{n = 2}^{\infty}F_nx^{n - 2} \\ & = F_0 + F_1x + x(\sum_{n = 0}^{\infty}F_nx^n - F_0) + x^2\sum_{n = 0}^{\infty}F_nx^n \\ & = 1 + xF(x) + x^2F(x) \end{align}$$
解得
$$\begin{align} F(x) &=\frac 1{1 - x - x^2} = \frac 1{(1 + x_1x)(1 + x_2x)} \\ & =\frac A{1 + x_1x} + \frac B{1 + x_2x} \end{align}$$
其中$x_1,x_2$为$1 - x - x^2 = 0$的两个根 $x_1 = -\frac {1 + \sqrt 5}2，x_2 = -\frac {1 - \sqrt 5}2$
解得 $A = -\frac {x_1}{\sqrt 5},B = \frac {x_2}{\sqrt 5}$
于是有
$$\begin{align} F(x) & = -\frac {\frac {x_1}{\sqrt 5}}{1 + x_1x} + \frac {\frac {x_2}{\sqrt 5}}{1 + x_2x} \\ & =- \frac {x_1}{\sqrt 5}\sum_{n = 0}^{\infty}(-x_1x)^n + \frac {x_2}{\sqrt 5}\sum_{n = 0}^{\infty}(-x_2x)^n \\ & = \sum_{n = 0}^{\infty}(\frac {(-x_1)^{n+1}}{\sqrt 5} - \frac {(-x_2)^{n+1}}{\sqrt 5})x^n \end{align}$$
就有 $$F_n = \frac {(-x_1)^{n+1}}{\sqrt 5} - \frac {(-x_2)^{n+1}}{\sqrt 5} = \frac {(1 + \sqrt 5)^{n+1} - (1 - \sqrt 5)^{n+1}}{\sqrt 5 * 2^{n + 1}}$$

ex2.求解

$$\begin{cases} a_n = \sum_{k=1}^{n-1}a_ka_{n-k} & n >= 2 \\ a_1 = a_2 = 1 \end{cases}$$
设$f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}a_nx^n$是序列$\{a_n\}$的普通母函数，则
$$\begin{align} f^2(x) &= \left(\sum_{n = 1}^{\infty}a_nx^n\right)^2 \\ & = \sum_{n = 2}^{\infty}\left(\sum_{k = 1}^{n - 1}a_ka_{n - k}\right)x^n \\ & = \sum_{n = 2}^{\infty}a_nx^n \\ & = \sum_{n = 1}^{\infty}a_nx^n - a_1x \\ & = f(x) - x \\ \end{align}$$
解得$f_1(x) =\frac {1 + \sqrt {1 - 4x}}2,f_2(x) = \frac {1 - \sqrt {1 - 4x}}2$
舍去$f_1$,得$f(x) = f_2(x) = \frac {1 - \sqrt {1 - 4x}}2$
又有
$$\begin{align} \sqrt {1 - 4x} & = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty}\frac {(-1)^{n - 1}}{n * 2^{2n - 1}}{2n - 2 \choose n - 1}(-4x)^n \\ & = 1 - \sum_{n = 1}^{\infty}\frac 2n{2n - 2 \choose n - 1}x^n \end{align}$$
所以
$$f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac 1n{2n - 2 \choose n - 1}x^n$$
顺带证了一下卡特兰数~

非常系数线性齐次递归关系式求解暂时不想写，，，以后再补QAQ

附常用的一些式子：
$e^{ax} = 1 + ax + a^2\frac {x^2}{2!} + \cdots + a^n\frac {x^n}{n!} + \cdots$

$e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \cdots + \frac {x^n}{n!} + \cdots$

$e^{-x} = 1 - x + \frac {x^2}{2!} + \cdots +(-1)^n\frac {x^n}{n!} + \cdots$

$\frac {e^x + e^{-x}}2 = 1 + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^4}{4!} + \cdots$

$\frac {e^x - e^{-x}}2 = x + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} + \cdots$

$\frac 1{1 - x^a} = 1 + x^a + x^{2a} + x^{3a} + \cdots$

$\frac 1{1 + x^a} = 1 - x^a + x^{2a} - x^{3a} + \cdots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} + \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac {x^4}{4!} + \cdots$