用母函数证明另一个基础的组合公式

用母函数证明另一个基础的组合公式

假设要证明:

C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)

先根据(1+x)^(n-1)=C(n-1,0)+C(n-1,1)*x+...C(n-1,r)*x^r+...+C(n-1,n-1)*x^(n-1)

然后在方程两边分别乘以1+x

有(1+x)^n={  C(n-1,0)+C(n-1,1)*x+...C(n-1,r)*x^r+...+C(n-1,n-1)*x^(n-1)  }*(1+x)

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而(1+x)^n的母函数展开为C(n,0)+C(n,1)*x+...C(n,r)*x^r+...+C(n,n)*x^(n)

对应项系数相等，对于x^r,所以有:C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r).