3阶差分方程在有重根下的一般计算公式的推导

3阶差分方程在有重根下的一般计算公式的推导

设有(x-2)^3=0

用newton二项式定理展开有：

C(3,3)*x^3*(-2)^(3-3)+...+C(3,k)*x^k*(-2)^(3-k)+C(3,0)*x^0*(-2)^(3-0)=0

 

第一种情况：

在这里如果x的解的形式为2^n,

代入左边有：

C(3,3)*2^(n+3)*(-2)^(3-3)+...+C(3,k)*2^(n+k)*(-2)^(3-k)+C(3,0)*2^n*(-2)^(3-0)

Go

C(3,3)*2^(n+3)*2^(3-3)*(-1)^(3-3)+...+C(3,k)*2^(n+k)*2^(3-k)*(-1)^(3-k)+C(3,0)*2^n*2^(3-0)*(-1)^(3-0)

GO

C(3,3)*2^(n+3)*(-1)^(3-3)+...+C(3,k)*2^(n+3)*(-1)^(3-k)+C(3,0)*2^(n+3)*(-1)^(3-0)

Go

提取2^(n+3)有：

2^(n+3)*  { C(3,3)*(-1)^(3-3)+...+C(3,k)*(-1)^(3-k)+C(3,0)*(-1)^(3-0) }

考虑一般情况SUM {  C(n,k)*(-1)^(n-k) } ,显然它的母函数是 {1+ (-1)}^n,结果为零，所以上面式子为0；

 

第二种情况：

在这里如果x的解的形式为n*2^n,

代入左边有：

C(3,3)*(n+3)*2^(n+3)*(-2)^(3-3)+...+C(3,k)*(n+k)*2^(n+k)*(-2)^(3-k)+C(3,0)*n*2^n*(-2)^(3-0)

Go

提取2^(n+3)有：

2^(n+3)*  { C(3,3)*(n+3)*(-1)^(3-3)+...+C(3,k)*(