普通BSGS
问题
已知a,b,Pa,b,Pa,b,P,且a与P互质,求解同余方程ax≡b (mod P)a^x \equiv b \space (mod \space P)ax≡b (mod P)
算法推导
设 m=⌈P ⌉m=\left \lceil \sqrt P \space \right \rceilm=⌈P ⌉
设 x=im+jx=im+jx=im+j,即 i=⌊xm⌋i=\left \lfloor \frac x m \right \rfloori=⌊mx⌋,j=x mod mj=x \space mod \space mj=x mod m
所以满足i≤mi \leq mi≤m,j≤mj \leq mj≤m
得aim+j≡b (mod P)a^{im+j} \equiv b \space (mod \space P)aim+j≡b (mod P)
ajaim≡b (mod P)a^j a^{im} \equiv b \space (mod \space P)ajaim≡b (mod P)
aj≡a−imb (mod P)a^j \equiv a^{-im}b \space (mod \space P)aj≡a−imb (mod P)
算法流程
先枚举j,将得到的aja^jaj存入hash表;
再枚举i,计算a−imba^{-im}ba−imb,是否存在hash表中,如果有,则找到了解,输出即可。
为保证答案最小,必须保证先枚举j,再枚举i,且保证aja^jaj在hash表中j从小到大排列
代码
long long work(long long a,long long b,long long P)
{
long long m,v,e=1,i;
m=ceil(sqrt(P+0.5));
v=pow_mod(a,m,P);
v=inv(v);//v=a^(-im)
Hash::clear();
Hash::add(1,0);
for(i=1;i<m;i++)
{
e=(e*a)%P;
if(Hash::get(e)==-1)
Hash::add(e,i);
}
for(i=0;i<m;i++)
{
int t=Hash::get(b);
if(t!=-1)
return i*m+t;
b=(b*v)%P;
}
return -1;
}
模板题
POJ2417
扩展BSGS
问题
已知a,b,Pa,b,Pa,b,P,a与P 不一定互质,求解同余方程ax≡b (mod P)a^x \equiv b \space (mod \space P)ax≡b (mod P)
算法推导
d=gcd(a,P)d=gcd(a,P)d=gcd(a,P)
如果 b mod d≠0b \space mod \space d ≠0b mod d̸=0
显然无解
则可以得
axd≡bd (mod Pd)\frac {a^x} d \equiv \frac b d \space \left( mod \space \frac P d \right)dax≡db (mod dP)
ad×ax−1≡bd (mod Pd)\frac {a} d \times a^{x-1} \equiv \frac b d \space \left( mod \space \frac P d \right)da×ax−1≡db (mod dP)
然后继续找d2=gcd(a,P/d)d_2=gcd(a,P/d)d2=gcd(a,P/d)
a2d×d2×ax−2≡bd×d2 (mod Pd×d2)\frac {a^2} {d \times {d_2}} \times a^{x-2} \equiv \frac b {d \times {d_2}} \space \left( mod \space \frac P {d \times {d_2}} \right)d×d2a2×ax−2≡d×d2b (mod d×d2P)
如此反复,令D=d1d2d3...dkD={d_1}{d_2}{d_3}...{d_k}D=d1d2d3...dk
得
akD×ax−k≡bD (mod PD)\frac {a^k} D \times a^{x-k} \equiv \frac b D \space \left( mod \space \frac P D \right)Dak×ax−k≡Db (mod DP)
前k次暴力求解,后面PD\frac P DDP与ax−ka^{x-k}ax−k互质,然后用普通BSGS就可以做了
代码
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
const long long HASHSIZE=31643,MAXNODE=31650;
namespace Hash
{
long long id[MAXNODE],val[MAXNODE],nxt[MAXNODE];
long long head[HASHSIZE],ncnt;
void Clear()
{
ncnt=0;
memset(head,-1,sizeof head);
}
void Insert(long long i,long long v)
{
id[ncnt]=i;
val[ncnt]=v;
nxt[ncnt]=head[i%HASHSIZE];
head[i%HASHSIZE]=ncnt++;
}
long long Get(long long i)
{
for(long long u=head[i%HASHSIZE];u!=-1;u=nxt[u])
if(id[u]==i)
return val[u];
return -1;
}
}
long long gcd(long long a,long long b)
{
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if(b==0)
{
x=1;y=0;
return;
}
long long tx,ty;
exgcd(b,a%b,tx,ty);
x=ty;
y=tx-(a/b)*ty;
}
long long PowMod(long long a,long long b,long long P)
{
long long ret=1;
while(b)
{
if(b&1)
ret=(1LL*ret*a)%P;
b>>=1;
a=(1LL*a*a)%P;
}
return ret;
}
long long inv(long long a,long long P)
{
long long x,y;
exgcd(a,P,x,y);
x=(x%P+P)%P;
return x;
}
long long exBSGS(long long A,long long B,long long P)//A^X=B (mod P)
{
long long k=0,d,a2=1;
B%=P;
A%=P;
if(B==1)
return 0;
if(A==B)
return 1;
for(;;)//前k次,找公因数d
{
d=gcd(A,P);
if(B%d!=0)
return -1;//无解
if(d==1)
break;//已经互质,退出
B/=d;P/=d;
a2=(1LL*a2*A/d)%P;//记录(a^k)/(D)
k++;
if(a2==B)
return k;
}
Hash::Clear();
long long m=ceil(sqrt(P));
long long s=B%P,iA=inv(A,P),Am=PowMod(A,m,P);
//s=(B/D)*(a^-1)
for(long long j=0;j<=m;j++)
{
if(Hash::Get(s)==-1)
Hash::Insert(s,j);
s=(1LL*s*iA)%P;
}
//s=(a^k)/D*(A^im)
s=a2;
for(long long i=0;i<=m;i++)
{
long long j=Hash::Get(s);
if(j!=-1)
return i*m+j+k;
s=(1LL*s*Am)%P;
}
return -1;
}
int main()
{
long long A,B,P,ans;
for(;;)
{
scanf("%lld%lld%lld",&A,&P,&B);
if(A==0&&P==0&&B==0)
break;
ans=exBSGS(A,B,P);
if(ans==-1)
puts("No Solution");
else
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
模板题
POJ3243