离散对数求解算法

求解一个最小的x满足给定的方程B^x == N (mod P)

使用baby_step_giant_step算法。也就是先小步后大步算法。

1、令x=i*m+j  (m=ceil(sqrt(p)))，

那么原式化为 B^(i*m)*B^j==N(MOD P)

B^j==N*B^(-i*m)(MOD P)---------->B^j==N*B^m^(-i)(MOD P)

2、先预处理B^0,B^1,B^2……B^(m-1),存入HASH表,我使用结构体排序然后二分查找，这一步就是baby_step,每次移动1

3、然后快速幂求出B^-m,枚举i，如果存在N*B^(-i*m)存在于HASH表中，说明存在解x=i*m+j，这一步为giant_step,每次移动m

注意以上解法是最基本的，只能对于gcd(B,P)==1，算法的时间复杂度是O(sqrt(P)*log(sqrt(P)))

样题：poj2417

ps：参考cxlove博客，密码学里面貌似叫做shanks算法 点击打开链接

模板：

///大步小步算法
struct baby///小步算法预存的结构体定义
{
    long long b,j;
    bool operator < (const baby &other)const{
        if(b==other.b)return j<other.j;
        return b<other.b;
    }
}babyv[100005];
///快速幂，x^y%mod
long long q_pow(long long x,long long y,long long mod)
{
    long long ans=1;
    while(y>0)
    {
        if(y&1)ans=(ans*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
///小步预存的个数为m的结构体里面查找num
long long find(long long num,long long m)
{
    long long l=0,r=m-1,ans=-1;
    while(r>=l)
    {
        long long mid=(r+l)/2;
        if(babyv[mid].b>=num){
            if(babyv[mid].b==num)
                ans=babyv[mid].j;
            r=mid-1;
        }
        else l=mid+1;
    }
    return ans;
}
///B^x=N(modP)求解x，无解返回-1
long long babystep_giantstep(long long B,long long N,long long P)
{
    long long m=ceil(sqrt(P)),ans=1;
    for(long long j=0;j<m;j++)///预存操作
    {
        babyv[j].b=ans;
        babyv[j].j=j;
        ans=(ans*B)%P;///递推
    }
    ans=1;
    sort(babyv,babyv+m);///预存排序
    long long _Bm=q_pow(q_pow(B,P-2,P),m,P);///算出B^(-m)%P的值
    for(long long i=0;i<m;i++)
    {
        long long j=find(N*ans%P,m);///二分查找
        if(j!=-1)return i*m+j;///找到返回答案
        ans=(ans*_Bm)%P;///继续递推
    }
    return -1;///找不到答案
}

poj2417代码：点击打开链接

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<v