Baby Step Giant Step(BSGS) 低于线性时间复杂度的离散对数算法

最新推荐文章于 2023-08-29 14:09:28 发布
最新推荐文章于 2023-08-29 14:09:28 发布
阅读量931 收藏 3
点赞数
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ivanzn/article/details/88843689

转载请注明

目录

1.离散对数问题

2.BSGS介绍

3.必要的理论知识

3.1费马小定理

3.2第一个引理

3.3同余式有解的充要条件

3.4第二个引理

4.BSGS算法的具体内容

4.1 满足(a,c) = 1

4.1.1解的形式和通解

4.1.2具体内容

4.2不满足(a,c) = 1

         4.2.1变形

         4.2.2如法炮制

         4.2.3code

5.时间复杂度

1.离散对数问题

在数论的同余式问题中，有一类问题被叫做“离散对数问题”，它的数学表达式是  \bg_white a^x\equiv b \ (mod \ c)

其中，a,b,c是已知的，要求x（若x存在）

 

2.BSGS介绍

BSGS是 Baby Step Giant Step 算法的简称，也可以叫它北上广深算法或者叫做拔山盖世算法等，被用于在低于线性时间复杂度下解决离散对数问题

 

3.必要的理论知识

掌握BSGS，需要掌握下面的理论知识

3.1费马小定理

若 p 是质数，a 是一个整数，那么有  \bg_white a^p \equiv a \ (mod \ p) 

上面的同余式等价于 \bg_white a^{p-1} \equiv 1 \ (mod \ p)

3.2第一个引理

两个整数 a,c ，若满足 \bg_white (a,c) = 1 , 那么有  \bg_white a^x \equiv a^{x \ mod \ \phi(c)} (mod \ c)

证明：

\because (a,c) =1 

\bg_white \therefore a^{\phi(c)} \equiv 1 \ (mod \ c)  （费马小定理）

\bg_white \therefore a^{k*\phi(c)} \equiv 1 \ (mod \ c)(同幂律)

\bg_white \therefore a^{k*\phi(c)+x} \equiv a^x \ (mod \ c)

两边指数同余 \phi(c) (相当于同时乘上

最低0.47元/天 解锁文章

200万优质内容无限畅学
Ivanzn
关注
BSGS算法初探
CXR的博客
10-28 639
前言 BSGSBSGSBSGS算法，全称Baby Step Giant StepBaby\ Step\ Giant\ StepBaby Step Giant Step，即大小步算法。某些奆佬也称其为拔（Ba）山（Shan）盖（Gai）世（Shi）算法。 它的主要作用是求解形式如xt≡y(mod&
hdu2815 扩展Baby step,Giant step入门
Nicolas
09-20 1493
题意：求满足a^x=b(mod n)的最小的整数x。 分析：很多地方写到n是素数的时候可以用Baby step,Giant step, 其实研究过Baby step,Giant step算法以后，你会发现  它能解决    “n与a互质”的情况，而并不是单纯的n是素数的情况。如果a与n不是互质的，那么我们需要处理一下原方程，让a与n互质，然后再用Baby step,Giant step解出x
Baby-Step Giant-Step算法
zdyyzdyy123的博客
10-20 407
求解上式，0<=x<n的解，其中n是素数和n不是素数都可以。 求解思路： 令x=k*t+i(t是常数，代表的是大步，i也是常数，代表的是小步)，式子变为： 化简后得到： 将(，i)存入表中，然后枚举k，在表中查找即可。 时间复杂度为O（n+p/n）,如果取n=sqrt(p)的时候，时间复杂度为O(sqrt(p)) POJ2417Discrete Lo...
Baby-Step-Giant-Step算法
Evan_song1234的博客
12-02 275
Baby\bf BabyBaby-Step\bf StepStep-Giant\bf GiantGiant-Step\bf StepStep，简称 BSGS\bf BSGSBSGS 或 拔山盖世 我们这竟然有人管他叫 BIG\bf BIGBIG-Step\bf StepStep-Giant\bf GiantGiant-Step\bf StepStep，大步超大步？？？ 前置知识 取模运算 amod  ba\mod bamodb。 次方运算 axa^xax 算法用途 普通的 BSGSBSGSBSGS 算法用于
【学习笔记】Baby Step Giant Step算法及其扩展
changle_cyx
10-10 2380
1. 引入 Baby Step Giant Step算法（简称BSGS），用于求解形如ax≡b(mod&amp;amp;amp;amp;amp;nbsp;p)a^x\equiv b(mod\ p)ax≡b(mod&amp;amp;amp;amp;amp;nbsp;p)（a,b,p∈Na,b,p\in \mathbb{N}a,b,p∈N）的同余方程，即著名的离散对数问题。 本文分为 (a,p)=1(a,p)=1(a,p)=1 和 (a,p)≠1(a,p)\neq 1(a,p)...
python椭圆曲线加密算法_ECC 椭圆曲线加密算法学习————安全性问题与实战...
weixin_39586526的博客
12-04 2006
0x00 前言之前学习了ECDSA 和 ECDH 算法。不难发现椭圆曲线的离散对数难题对该密码的安全性有着多么重要的作用。之前谈及，椭圆曲线的离散对数难题非常难，尽管如此，也应该有些方法可以解开这个问题。就好像对于模运算的密码系统，比如RSA而言，可以用yafu工具来强解，也可以上某网站查表，也包括一些共模攻击，小指数攻击等方法。参考的网站相关代码0x01 BSGS 小步大步法方法的英文名是Bab...
Python&密码学中的简单算法
cat_of_landlord的博客
12-07 877
目录密码学编程应用欧几里得算法扩展欧几里得算法穷举素性检测Miller_Rabin素性检测 密码学编程应用 \quad本篇主要记录使用Python实现的几个密码学学习中用到的简单的算法，代码和文章中的问题欢迎批评指正。 欧几里得算法 即辗转相除，用于求最大公因子。递归和迭代都很简单,直接上代码: 递归版本 def gcd(a,b): if a<b: a,b = b,a if a%b==0: return b return (b,a%b)
ACM常用数学算法模板合集
扩展BSGS是一种用于求解离散对数问题的算法，它将离散对数问题转化为求解一个数在某个模下的幂次问题。它通常用于解决模运算中的指数运算问题。 8. 一定范围内的最近最远素数对 这个问题涉及到在一定范围内找到最...
数论模板：快速幂、扩展欧几里得、中国剩余定理
BSGS 算法用于求解离散对数问题，即寻找最小的非负整数 `x` 满足 `a^x ≡ b (mod p)`。该算法基于鸽巢原理，通过预处理减少搜索范围。代码中定义了一个名为 `BSGS` 的函数，输入参数为底 `a`、目标值 `b` 和模 `p`...
数论——Baby Step Giant Step大步小步算法
蒟蒻柴犬首相的博客
12-19 4189
bsgs算法 Baby Step Giant Step算法，简称BSGS算法，也称为大步小步算法. 解决对象 离散对数：当x≡Gk(modm)x≡Gk(modm)x\equiv G^k\pmod m时，logG(x)≡k(modϕ(m))logG(x)≡k(modϕ(m))log_G(x)\equiv k\pmod{\phi(m)}。此处的logG(x)logG(x)log_G(x)是x...
Baby-step giant-step
08-13 2733
转自：http://qinz.maybe.im/?p=50398 不知道为什么这算法会有这么诡异的名字，比“舞蹈链”（Dancing link）还诡异。但话说回来，这算法确实是我数论学习上的Baby-step giant-step，另外发现自己似乎很久没写月志了，就写篇纪念下吧~（其实算是Wikipedia上这篇文章的简单翻译-_-b） 定理的条件：m为质数　　 众所周知，，
BSGS算法
NephrenRuqInsania
03-10 306
Baby Step Gaint Step算法 这个算法是解决什么的呢？ 求关于yyy的方程 xy≡z ( mod  p)x^y\equiv z\ (\bmod\ p)xy≡z (mod p) 的最小整数解 其中保证(x,p)=1(x,p)=1(x,p)=1 其实还是挺暴力的… 为了便于解决，我们把yyy表示成im−jim-jim−j的形式 那么原来的式子就...
小步大步算法(BSGS)求解离散对数问题
国科大网安二班的博客
02-05 3662
小步大步算法(BSGS)求解离散对数问题 众所周知，离散对数问题(Discrete Logarithm Problem，DLP)一直被认为是困难问题。离散对数问题可以是基于循环群的，也可以是基于椭圆曲线的，本篇以循环群上的离散对数问题为例。主要描述的是这样一个问题： DLP问题 求解同余方程 Ax≡B(modP) A^{x}\equiv B \pmod{P} Ax≡B(modP) 其中，PPP是大素数。 如果是在整数上，求对数就可以解决。但是在循环群上，离散对数求解却是难之又难。 问题分析和算法主要思想 根
大步小步算法
最新发布
weixin_61785633的博客
08-29 492
位数, 所以可以把目标设为只求缺少的数，这样我们要求的数字最大就是(2^16)称之为大步小步算法，一种解决离散对数问题的方法，其主要思路是中间相遇攻击。时，他们求出来得值是一样的，所以可以算出。的值决定着该算法计算出结果所需要的时间。对于这个式子我们就可以先枚举j。这里可以找到i=2, j=13。这样我们就只需要求a_low。的结果并存储下来，接着枚举。转化为x = i*m+j。先算出结果并存入列表中。位得到的数，要求的数是m。，而不是去整体计算a。
BSGS及其扩展
Daniel__d的博客
04-15 291
BSGS及其扩展 BSGS（大步小步算法） BSGS是一种用于求解ax≡b(modp)a^x\equiv b\pmod{p}ax≡b(modp)(a,b,m(a,b,m(a,b,m已知且gcd(a,p)=1)gcd(a,p)=1)gcd(a,p)=1)，时间复杂度为O(p)O(\sqrt p)O(p​) 其实还是有点暴力 我们考虑令x=im−k,0≤k<mx=im-k,0\leq k<...
Pohlig-Hellman算法求解离散对数问题
国科大网安二班的博客
02-12 6495
Pohig-Hellman算法求解离散对数问题 离散对数(DLP)问题： ax≡b(modp) a^{x} \equiv b \pmod{p} ax≡b(modp) ppp是大素数。 前面已经介绍了求解离散对数问题的小步大步算法(BSGS)(时间复杂度是O(p)O(\sqrt{p})O(p​))，这里介绍另外一种求解光滑阶循环群上的离散对数的方法——Pohig-Hellman方法。事实上，Pohlig-Hellman算法的复杂度在一般情况下比BSGS算法高！但是在特殊情况下(循环群的阶是光滑数，即可以因子分
大步小步算法：BSGS解决离散对数问题详解
BSGS算法，全称为BabyStepGiantStep算法，是一种在计算机科学中处理离散对数问题的有效方法。它主要应用于求解模意义下的离散对数，即在给定整数A、B以及模数p的情况下，寻找整数x满足A^x ≡ B (mod p)。在传统的...
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值