求解离散对数——BSGS算法の板子

BSGS这玩意儿好像用的不是很多？好像除了POJ和HDU有两道题，然后就是SDOI的两个题了。。然后关于这玩意儿正确性的很多证明ATP都不是很懂。。这里只是解释一下它的实现过程。。

BSGS

BSGS算法（Baby Step Gaint Step）是用于求解离散对数（即$A^L \equiv B (mod\space C)$中的最小的$L$）的一种算法。它的实质是一种优化的枚举算法，但是它通过数学分析缩小了枚举的范围，一般在$O(\sqrt n)$或$O(\sqrt n logn)$（如果使用STL的map作为哈希表）的时间复杂度内就能出解。

普通的BSGS算法要求$A,C$互质。这里先贴板子再解释。。。（其中powww(a,t,Mod)是计算快速幂$a^t \space \% \space Mod$的过程）

void BSGS(LL A,LL B,LL C){
    LL m=ceil(sqrt(C)),k=B%C,am,x;
    bool end=false;
    if (B%C==0){
        printf("No Solution\n");
        return;
    }
    hash.clear();
    hash[k]=0;
    am=powww(A,m,C);
    for (int j=1;j<=m;j++){
        k=k*A%C;hash[k]=j;
    }
    x=1;
    for (int i=1;i<=m;i++){
        x=x*am%C;
        if (hash[x]!=0){
            printf("%I64d\n",((i*m-hash[x]+cnt)%C+C)%C);
            end=true;
            return;
        }
    }
    if (end==false)
      printf("No Solution\n");
}

对于要求的式子$A^L \equiv B(mod\space C)$，首先我们设定一个值$M$，并且设$L=i*M-j$。那么原来的式子就能表示成$A^{i*M-j} \equiv B$。显然我们可以把$A^j$移到等式的右侧变成