CaptainChen的博客

博弈论——SG定理

题意黑板上有n个数，它们的最大公约数为1.于是A和B决定玩一个游戏，两个人轮流进行操作，A先手。从黑板上的数选择一个不小于2的数，把这个数减去1，然后对于这n个数，除以他们的最大公约数.当一个人无法操作时便输了。求先手是否必胜。题解定义状态1：有奇数个偶数，奇数至少一个定义状态2：有偶数个偶数，且奇数个数≥2定义状态3：有偶数个偶数，奇数一个所有数都为1，为必败态，属于状态2状态...

题意A和B轮流给树上的结点染色，A每次选择没染过的点染成白色，B每次选择没染过的点染成黑色，最后若所有白色都与黑色相邻，则B胜，否则A胜。双方以最优策略，求A胜还是B胜。题解A首先选择叶子结点的父亲u，则B只能选择叶子结点（否则叶子节点染白后，永远不可能与黑色相邻），所以，如果存在u有两个以上叶子结点，则A胜；然后删去u，则u的父亲v，如果v没有了子节点，v就成为新的叶子结点，A可继续先前...

题目：有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。 威佐夫博弈： 威佐夫博弈代码：#include#include

一堆石子有n颗。第一个人第一次至少取1颗，最多取n-1颗。至此后，每个人取的石子数不能超过对手前一次所取的石子数的2倍。 先手胜当且仅当n不是Fibonacci数。换句话说，必败态构成Fibonacci数列。

游戏开始时有许多硬币任意分布在楼梯上，共n阶楼梯从地面由下向上编号为0到n。游戏者在每次操作时可以将楼梯j(1<=j<=n)上的任意多但至少一个硬币移动到楼梯j-1上。游戏者轮流操作，将最后一枚硬币移至地上的人获胜。

博弈论：1.NP状态 N（next）：此状态的先手必胜。 P（perv）：此状态的后手必胜。 2.NP转移 终止状态为P； 能一步到达任何一个P的状态为N； 不能一步到达任何P的状态为N；

题目大意：初始数为1，stan先手，每次将数乘以2~9，先将数≥n者胜。题解：倒推，n为P状态，n-1~n/9为N状态，n/9-1~n/9/2为P状态……一直不停除以9，除以2，状态交替，要特殊处理当前数是2或9的倍数的情况，除以2或9会有差异。

题目大意：M堆牌，每堆有Ni个，两人轮流取，每次取一堆的任意数量，取完者胜。问先手想赢，第一步有几种方案？题解：SG定理的巧妙应用 因为每次可以取任意数量，所以sg[i]==i。整个游戏的sg值s=N1^N2^…^Nm; 枚举I到m，设x=s^Ni,（此时x为除了第I堆，其它堆游戏的和的sg值），只要第I堆取了x个，x^其它游戏的和(x)==0，是P状态，所以先手第一步在第I堆取x个就是一种方案

题目大意：有3堆石头，两个人轮流取，每次取的数量只能是Fibonacci中的数，取完所有的人获胜，求先手胜负情况。

题意有一棵树，每个结点上有A[i]个石子，A开始把一个棋子放在任意一个结点上，然后由A开始，A,B轮流操作将当前棋子的结点石子数减1将棋子移动到相邻的结点上不能操作者输求A开始把棋子放在哪儿保证能赢。题解性质：棋子不会往比自己石子多的地方走（如果这样走，对方可以再走回来，自己就少了一颗棋子，对方又比自己多，打消耗战打不赢的。。。）然后就可以直接模拟计算NP状态枚举一个点作为起点，...