25、平面支配集的简单线性时间核化

平面支配集的简单线性时间核化

1. 引言

在图论中，平面支配集问题是一个重要的研究课题。本文将介绍一种用于平面支配集问题的简单线性时间核化方法，该方法通过一系列的操作和变换，逐步缩小图的规模，同时保持支配集的性质不变。

2. 预备知识

2.1 定义和符号

设 $G = (V, E)$ 是一个无向图。
- 当 $U \subseteq V$ 时，$G[U]$ 表示由 $U$ 诱导的 $G$ 的子图，即 $(U, { {u, v} \in E : u, v \in U})$。
- 对于 $u \in V$，$N_G(u)$ 表示 $u$ 在 $G$ 中的邻居集合，即 ${v \in V : {u, v} \in E}$，$N_G[u] = N_G(u) \cup {u}$。对于 $U \subseteq V$，$N_G(U) = \bigcup_{u \in U} N_G(u)$，$N_G[U] = \bigcup_{u \in U} N_G[u]$。
- 顶点 $u \in V$ 在 $G$ 中支配 $N_G[u]$ 中的顶点，顶点集 $U \subseteq V$ 在 $G$ 中支配 $N_G[U]$ 中的顶点，若 $N_G[U] = V$，则 $U$ 支配 $G$ 本身。
- 对于 $A \subseteq V$ 和 $i \geq 0$，$N^i_G(A)$ 表示 $V \setminus A$ 中恰好有 $i$ 个邻居在 $A$ 中的顶点集合，$N^{\geq i} G(A) = \bigcup {j = i}^{\infty} N^j_G(A)$。