11、平面连通支配集与图的 L(2, 1)-标注算法研究

平面连通支配集与图的 L(2, 1)-标注算法研究

平面连通支配集的改进核

在图论中，平面连通支配集问题是一个重要的研究领域。对于一个图 $G$，如果它的每个顶点被染成白色或黑色，并且应用规则 1 - 7 既不会改变 $G$ 中任何顶点的颜色，也不会改变 $G$ 的结构，那么称图 $G$ 是约简的。

• 引理 2 ：设 $(G, k)$ 是平面连通支配集的一个给定实例，$G’$ 表示先将 $G$ 中的顶点染成黑色，然后彻底应用规则 1 - 7 得到的约简图。那么，$\mu(G) = \mu_b(G’) = \mu(G’)$。并且这些规则的运行时间显然是多项式的。
• 定理 1 ：给定平面连通支配集问题的一个实例 $(G, k)$，我们可以在 $O(n^5)$ 时间内构造一个关于规则 1 - 7 的约简图 $(G’, k)$，使得 $G$ 有一个大小至多为 $k$ 的连通支配集，当且仅当 $G’$ 有一个由至多 $k$ 个顶点组成的连通支配集。

我们的核化算法输出的是引理 2 中 $G’$ 的“未染色”版本。由于引理 2，这个输出等价于输入实例。不过，在分析核大小时，考虑染色图 $G’$ 更方便，并且同样的界限也适用于未染色的输出。

基于区域分解方法，我们可以证明平面连通支配集存在一个至多有 130k 个顶点的核。具体步骤如下：
1. 证明存在一个 $G$ 的最大 $D$ - 区域分解 $\Re$，其区域数量至多为 $O(k)$。
2. 对 $\Re$ 中区域包含的顶点数量进行上界估计。
3. 对不属于 $\Re$