24、安全近似与核化的关系及平面图支配集的线性时间核化

安全近似与核化的关系及平面图支配集的线性时间核化

在参数化计算领域，核化算法和安全近似是两个重要的概念。核化算法能够将问题实例转化为规模仅依赖于所选参数的等价实例，而安全近似则为核化算法的设计提供了新的思路。下面我们将深入探讨这两个概念及其在不同图问题中的应用。

安全近似与核化的基础概念

核化算法是一种多项式时间的程序，它能把一个问题的实例转化为一个等价实例，且该等价实例的大小仅取决于所选参数的值。对于一个参数化问题 (L \subseteq \Sigma^ \times N)（其中 (\Sigma) 是字母表，(N = {1, 2, …})），核化算法 (A) 存在多项式 (p : N \to N) 和函数 (f : N \to N)，当应用于实例 (I = (G, k) \in \Sigma^ \times N) 时，能在 (p(|I|)) 步内计算出实例 (I’ = (G’, k’) \in \Sigma^* \times N)，满足 (|I’| \leq f(k)) 且 (k’ \leq k)，同时 (I \in L \Leftrightarrow I’ \in L)。

安全近似则是一种特殊的近似算法，它在某些情况下能为核化算法的设计提供帮助。通过安全近似，我们可以在不损失问题解的正确性的前提下，对问题实例进行简化，从而得到更小的核。

不同图问题中的安全近似与核化

• 支配集问题
  • 对于图 (G)，设 (S) 是一个支配集。若 (|S| > \rho k)，则显然 (opt(G) > k)，算法 (A’) 会拒绝实例