递归与分治算法设计及多项式与矩阵运算实现

48、设计一个快速递归多项式乘法算法，使用分治分解方法。通过列表对多项式进行编码，该方法需要调用多项式加法和减法的函数，也请对这些函数进行编码。

对多项式进行分块处理，通过递归调用实现乘法，并编写多项式加法和减法函数。

49、按照如下方式分解输入矩阵来实现一个矩阵乘法算法：A ⋅ B = [ A1 A2 ] ⋅ [ B1 B2 ] = [ A1B1 + A2B2 ]，请编写代码实现该算法。

要实现此算法，可按以下步骤进行：

1. 输入矩阵 A 和 B，并将它们分解为 A1、A2 和 B1、B2；
2. 计算 A1 与 B1 的矩阵乘积，A2 与 B2 的矩阵乘积；
3. 将上述两个乘积结果相加得到最终结果矩阵。

在实际编程中，可使用 Python 的 NumPy 库来完成矩阵操作。

以下是一个简单的示例代码：

import numpy as np

def matrix_multiplication(A, B):
    # 这里需要根据实际情况将 A 分解为 A1 和 A2，B 分解为 B1 和 B2
    # 示例中简单假设 A 和 B 已经是合适的分块矩阵形式
    A1, A2 = A[:, :len(A[0])//2], A[:, len(A[0])//2:]
    B1, B2 = B[:len(B)//2, :], B[len(B)//2:, :]
    result = np.dot(A1, B1) + np.dot(A2, B2)
    return result

# 示例矩阵
A = np.array([[1, 2, 3, 4],
             [5, 6, 7, 8]])

B = np.array([[1, 2],
             [3, 4],
             [5, 6],
             [7, 8]])

result = matrix_multiplication(A, B)
print(result)

50、实现可用于计算二项式系数的函数。

可实现该函数，示例Python代码如下：

def binomial_coefficient(n, m):
    if m == 0 or n == m:
        return 1
    return binomial_coefficient(n - 1, m - 1) + binomial_coefficient(n - 1, m)

51、实现计算二项式系数的函数。

二项式系数的递归定义如下：

当 $ m = 0 $ 或 $ n = m $ 时，$\binom{n}{m} = 1$；
否则，$\binom{n}{m} = \binom{n-1}{m-1} + \binom{n-1}{m}$。

以下是实现该函数的 Python 代码：

def binomial_coefficient(n, m):
    if m == 0 or n == m:
        return 1
    return binomial_coefficient(n - 1, m - 1) + binomial_coefficient(n - 1, m)

52、在这个练习中，目标是解决汉诺塔谜题的一个变种，我们称之为“侧向”汉诺塔问题。假设三根杆从左到右排列。规则与原始汉诺塔问题相同，但不允许将单个圆盘直接在最左和最右的杆之间移动。设计一个使用多重递归的程序，将n个圆盘的堆叠从最左杆移动到最右杆，反之亦然。此外，确定移动n个圆盘的堆叠所涉及的单个圆盘移动次数。

可设计递归程序：

1. 先将 $ n - 1 $ 个圆盘从左杆借助右杆移到中间杆；
2. 再将最大圆盘从左杆移到右杆；
3. 最后将 $ n - 1 $ 个圆盘从中间杆借助左杆移到右杆。

移动次数为 $ 3^n - 1 $。

53、实现一个函数来计算二叉搜索树中的节点数。假设该二叉搜索树编码为一个包含四个组件的列表，列表格式为 [name, birthday, left_subtree, right_subtree]，其中 left_subtree 和 right_subtree 同样为符合该格式的列表或为空列表。

# 假设二叉搜索树节点列表格式为 [name, birthday, left_subtree, right_subtree]
# 计算二叉搜索树节点数量的函数
def count_nodes(tree):
    if not tree:
        return 0
    left_count = count_nodes(tree[2])
    right_count = count_nodes(tree[3])
    return 1 + left_count + right_count

54、实现一个 Python 函数，给定一个包含 n 个元素的输入列表 a，找出其中由连续相同元素组成的最长子列表。例如，对于 a = [1, 3, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 6]，结果是 [4, 4, 4]。请分别使用一个辅助递归函数来判断列表中的所有元素是否相同，以及实现一个不需要调用辅助方法的递归函数来解决此问题。

以下是一个使用辅助递归函数和不使用辅助递归函数的 Python 实现示例。

使用辅助递归函数：

# 辅助函数，判断列表元素是否都相同
def all_identical(lst):
    if len(lst) <= 1:
        return True
    return lst[0] == lst[1] and all_identical(lst[1:])

def longest_contiguous_sublist(lst):
    if not lst:
        return []
    max_sublist = []
    for i in range(len(lst)):
        for j i