10、背包重配置问题与平面连通支配集问题研究

背包重配置问题与平面连通支配集问题研究

1. 背包重配置问题概述

在普通的背包问题中，每个物品不仅有大小，还有利润。我们希望找到一种物品组合，使得其总利润至少达到给定的阈值。基于此，存在两种背包重配置问题：背包重配置和最大最小背包重配置，它们分别类似于子集和重配置以及最大最小子集和重配置问题。由于这两个背包重配置问题是子集和重配置问题的推广，所以子集和重配置问题的复杂性和不可近似性结果同样适用于它们。不过，目前尚未找到最大最小背包重配置问题的多项式时间近似方案（PTAS）。

2. 平面连通支配集问题引入

• 支配集问题基础 ：支配集问题是指对于给定的图 (G = (V, E)) 和非负整数 (k)，判断图 (G) 是否存在一个大小至多为 (k) 的支配集。该问题是 NP 完全问题，在自组织网络和投票系统等领域有广泛应用。从参数化复杂性理论的角度来看，该问题以 (k) 为参数是 W[2] 完全的，因此不太可能是固定参数可处理的，也不太可能存在核化算法。
• 核化算法概念 ：核化算法是针对参数化问题 (Q) 的一种多项式时间算法。对于给定的问题实例 ((G, k))，它会产生另一个实例 ((G’, k’))，使得 ((G, k)) 是肯定实例当且仅当 ((G’, k’)) 是肯定实例，且 (k’ \leq k)，同时 (G’) 的大小（即顶点数）由 (k) 的某个函数界定。若 (G’) 的大小与 (k) 呈线性关系，则称 (G’) 为线性核，相应的算法为线性核化算法。
• 平面支配集问题研究进展 ：近年来，平面图问题的