27、线性时间计算线性问题核

线性时间计算线性问题核

在图论中，对于平面图的处理，我们常常需要对图进行数据缩减，以得到一个规模更小但本质属性不变的问题核。本文将介绍两种数据缩减规则，并基于这些规则给出一个核化算法，能够在线性时间内计算出一个线性规模的问题核。

1. 数据缩减规则概述

为了缩减图的规模，我们采用两种数据缩减规则，一种用于缩减顶点的邻域，另一种用于缩减区域。

2. 数据缩减规则详细介绍

2.1 私有邻域规则

对于图 $G$ 中的顶点 $v$，我们将其邻域划分为三个子集：
- $N_G^1(v) := {u \in N_G(v) | N_G(u) \setminus N_G[v] \neq \emptyset}$
- $N_G^2(v) := {u \in N_G(v) \setminus N_G^1(v) | N_G(u) \cap N_G^1(v) \neq \emptyset}$
- $N_G^3(v) := N_G(v) \setminus (N_G^1(v) \cup N_G^2(v))$

缩减规则 1：若 $v \in V(G)$ 满足 $|N_G^3(v)| > 1$ 或 $|N_G(N_G^3(v))| > 1$，则从 $G$ 中移除 $N_G^3(v)$，并向 $v$ 附加一个新的一度虚拟顶点 $v’$。

该规则的正确性基于原有的缩减规则，因为我们只是删除了可安全移除顶点的一个子集。对于平面图，该规则可以在 $O(n)$ 时间内被穷举应用，具体证明如下：

设 $G$ 是平面图，$v \in V(G)$ 不满足缩减规则 1 的条件。当对