24、安全近似与核化：算法优化新视角

安全近似与核化：算法优化新视角

在计算科学领域，尤其是参数化计算方面，核化算法和安全近似概念正逐渐成为研究的热点。核化算法能将复杂问题的实例转化为规模更小但等价的实例，而安全近似则为解决这些问题提供了一种有效的近似策略。下面我们将详细探讨它们在不同图论问题中的应用。

平面图支配集问题的核化算法

平面图支配集问题是一个经典的 NP 完全问题，其目标是在平面图中找到最小的顶点集，使得图中的每个顶点要么在该集合中，要么与集合中的某个顶点相邻。对于这个问题，已经有不少核化算法被提出。

早期的核化算法能将问题实例转化为规模最大为 335k 的等价实例（k 为输入图的支配数），后来这个上限被降低到 67k。不过，这些算法的时间复杂度为立方级，运行速度较慢。

近年来，线性时间核化算法开始受到关注。例如，van Bevern 等人提出了一种线性时间核化算法，能生成线性规模的核。而本文介绍的新算法同样能在线性时间内为平面图支配集问题生成线性规模的核，并且算法及其分析要简单得多。

新算法的核心思路源于一个观察：在具有较小支配数 k 的 n 顶点平面图 G 中，如果两个顶点 x 和 y 有很多共同邻居，那么这些共同邻居中的大多数除了 x 和 y 之外没有其他邻居。这意味着最优支配集必然包含 x 或 y，并且可以移除 x 和 y 的大部分共同邻居而不影响支配数。

具体步骤如下：
1. 寻找顶点集 A ：寻找一个小的顶点集 A，使得很多顶点在 A 中有两个邻居。一个好的候选集是图 G 中总度数至少为 n - |P| 的最小顶点集 P。
2. 处理不同情况