26、平面支配集的简单线性时间核化算法

平面支配集的简单线性时间核化算法

一、引言

在算法研究领域，有两个活跃的研究方向：一是处理平面图上的NP难问题，利用其结构特性来设计更好的算法（如近似算法或固定参数算法）；二是多项式时间的数据约简和问题核化，这是参数化复杂度分析的重要子领域。平面图问题在参数化复杂度分析的多个研究方向发展中扮演了重要角色。

以平面图上的支配集问题为例，之前已经有了一些成果。最初有335k顶点的问题核，后来进一步优化为67k顶点的问题核，但这些核化算法的时间复杂度都是立方级的。本文的目标是将运行时间从立方级提升到线性级，同时保持线性大小的问题核。

二、相关概念和背景

• 核化算法 ：能在多项式时间内将一个（通常是NP难）问题的实例转化为一个等价实例，其大小由问题特定参数的函数界定。如今，最小化问题核的大小已成为一个标准挑战。
• 平面图支配集问题 ：给定一个无向平面图G和一个正整数k，选择最多k个顶点，使得G中每个未选择的顶点至少有一个已选择的邻接顶点。

之前的工作侧重于设计数据约简规则以获得较小的可证明核大小，而本文则致力于优化已知规则的使用，提高时间复杂度。

三、计算分区和相关集合

1. 计算分区 {Star(x) : x ∈ Q}

   • 让V1 \ Q中的每个顶点选择一个邻接顶点x ∈ Q，并标记自己属于Star(x)。
   • 对于每个顶点u ∈ V1，确定NG1[u]中表示的星