23、安全近似与核化：概念、关系与应用

安全近似与核化：概念、关系与应用

在算法领域，参数化复杂度、核化以及近似算法是重要的研究方向。本文将深入探讨安全近似（Safe Approximation）这一概念，以及它与核化（Kernelization）之间的关系。

1. 预备知识

• 参数化复杂度与核化 ：
  • 参数化问题 (Q) 是 (\Sigma^*\times N) 的一个子集，其中 (\Sigma) 是有限固定字母表，(N) 是非负整数集。每个参数化问题 (Q) 的实例是一个对 ((x, k))，其中 (k) 被称为参数。
  • 如果存在一个算法能在 (f(k)|x|^{O(1)}) 时间内判定输入 ((x, k)) 是否属于 (Q)，则称参数化问题 (Q) 是固定参数可处理的（FPT）。
  • 若存在一个多项式时间约简（核化），将 (Q) 的实例 ((x, k)) 映射到 (Q) 的其他实例 ((x’, k’))，满足 (|x’|\leq g(k))，(k’\leq g(k))，且 ((x, k)) 是 (Q) 的肯定实例当且仅当 ((x’, k’)) 是 (Q) 的肯定实例，则称参数化问题 (Q) 是可核化的。若 (g(k)) 是 (k) 的多项式有界函数，则核化是多项式的。
  • 还引入了固定参数难解性的 (W) - 层次结构 (\bigcup_{t\geq0} W[t])，其中 (W[t] \subseteq W[t + 1]) 对于所有 (t\geq0) 成立，且 (W[0]) 是 FPT 类。通常认为 (W) - 层次结构不太可能坍塌。