抽象代数学习笔记（4）置换

这篇文章将要介绍一个重要的概念—置换。

非空有限集A到A本身的一个可逆映射称为A的一个置换。

一个含有n个元素的集合可以写成这种形式：

$$\{a_1,a_2,...,a_n\}$$
置换的表达式如下：
$$\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & ... &a_n \\ P(a_1) & P(a_2) & ... & P(a_n) \end{bmatrix}\quad$$
因为$P$是一个到自己的可逆映射，所以$P(a_1),P(a_2),...,P(a_n)$ 其实是$a_1,a_2,...,a_n$的一种排列而已。我们不妨先不考虑$a$，只关注下标$1,2,...,n$，等需要考虑元素本身的时候，再把$a$放回去，这样，研究任何$n$元集合上的置换等同于研究 $\{1,2,...,n\}$ 集合上的置换，比如研究任意3元集合上的置换只需要研究下面这种置换形式的即可：
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ P(1) & P(2) & P(3) \end{bmatrix}\quad$$
和一般的映射一样，置换也满足映射的复合规则，这里不再赘述。

置换中有个比较重要的性质—奇偶性
上面说过，$P(a_1),P(a_2),...,P(a_n)$ 是$a_1,a_2,...,a_n$的一种排列，现在我们把$a_1,a_2,...,a_n$换成$1,2,..,n$，如果$P(1),P(2),...,P(n)$ 中存在两个数，较大的数排在较小的数之前，那么，这两个数构成了一个反序。

反序的个数称为反序数。如果反序数是奇数，这个置换就是一个奇置换，如果反序数是偶数，这个置换就是一个偶置换。
例如：

$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}\quad$$
置换A是一个奇置换，所有的反序为：$(4,3),(4,1),(4,2),(3,1),(3,2)$

在进行映射复合时，奇偶性相同，则复合置换为偶置换，否则得到的是奇置换。另外，逆置换的奇偶性不变。

小结

关于置换的概念到这里差不多介绍结束了，我想，理解起来并不难。不过，置换一个非常重要的概念，以$n$元集合上若干置换在映射合成下构成的群是群论中一个重要研究对象。最后我留一个例子给大家思考：
设等边三角形ABC，将顶点A，B，C分别记为1,2,3.那么集合 $\{1,2,3\}$ 上有6个置换：

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}\quad$$
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}\quad$$
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}\quad$$
大家考虑一下这6个置换的几何意义是什么。