抽象代数学习笔记（11） 群上的可逆变换

之前写对称群的时候提到过，任意非空集合 $A$ 上的所有可逆映射在映射合成下构成群。现在，我们把这种构成群的方式从集合推广到群上，也就是群 $G$ 上所有可逆变换在映射合成下构成的群 $I(G)$ 。这里先说一个结论：任意群必然同构于 $I(G)$ 的一个子群。其意义在于，一般的群因为提出背景不同，在形式上千差万别，有了这个结论，只要研究群上可逆映射构成的群，其他的群也就清楚了。这也是自开始学习同构与同态时，我经常强调的。

设 $(G,* )$ 是个群，将 $G$ 上的可逆映射称之为 $G$ 的可逆变换。 $G$ 上所有可逆变换在映射合成下构成群，记为 $I(G)$ 。显然，同构映射也是一个可逆变换， $G$ 到 $G$ 本身的同构映射称为自同构。

自同构有一条重要性质：将 $G$ 上的所有自同构记为 $Aut(G)$ ， $Aut(G)$ 是 $I(G)$ 的一个子群。
证明很简单，首先设 $f,g\in Aut(G)$ ， $f*g$ 也是同构映射，也就是说