抽象代数学习笔记（5） 运算

“运算”这个名词大家从小学就应该接触了，比如“四则运算”等等。不过在那个时候，运算一直是一个很模糊的概念，究竟什么是运算？我们接触的“加减乘除”为什么都被称作运算，它们在本质上有相同的地方？

设$S$是个非空集合，把$S×S$到$S$的映射称之为$S$上的二元运算，简称为$S$上的运算.

和我们之前说的映射一样，运算的定义离不开集合，因此谈论运算一定要说清楚运算是定义在哪个集合上。例如：映射$f:x/y,(x,y) \in R×R$ 是一个运算，但是$f:x/y,(x,y) \in I×I$不是一个运算。

运算有两个基础性质：结合律，交换律。

若 $(a*b)*c=a*(b*c)$ ，那么说运算*满足结合律

若 $a*b=b*a$ ，那么说运算*满足交换律

这两个性质在大家学习初等代数的时候似乎是自然成立的，那是因为，之前接触的实数集合上的四则运算恰好满足了这两个性质。需要指出的是，在广义的运算上，这两条性质不一定成立。最简单的例子就是矩阵乘法不满足交换律。有些代数系统甚至不满足结合律，这些非结合代数是代数的一个重要研究领域。

运算定义的那个集合中可能会出现一个比较特殊的元素$e$，对于集合$S$任意元素$s$，有

$$s*e=e*s=e$$
元素$e$称为运算的单位元或者中性元。注意一下，这个元素不一定存在。

另外，还有一个特殊元素叫做零元。零元的概念一般出现在环论中，它的定义是对于集合$S$任意元素$s$，如果存在元素$z$,满足：

$$z*s=s*z=z$$
一个常见的零元是整数乘法中的整数0，对于整数集合中的任意元素$i$，都有$i*0=0*i=0$。或许，零元的名称就是这么来的。

到这里，学习抽象代数的预备知识就介绍完了，之后就要向大家介绍群—一个很基本的代数系统。