抽象代数学习笔记（7）对称群与置换群

抽象代数学习笔记（7）对称群与置换群

我刚接触抽象代数的那段时间，一直在考虑一个问题，抽象代数有什么实际应用。后来听说，群在研究一些具有对称性质的对象时有奇效。于是我试着用群去描述一些简单的几何变换，发现确实如此。这就是我在置换那篇文章的最后让大家思考等边三角形变换的原因。
如果大家在看群的定义时，回想一下集合 $S=\{1,2,...n\}$ 上的所有置换，不难发现这些置换也能构成群。这个群被叫做对称群，记为 $S_n$。而 $S_n$ 的任意一个子群被称作置换群。
为了了解置换的性质，我们用循环的乘积表示置换。

如果 $n$ 阶置换 $P$ 把 $k$ 个数码 $i_1,i_2,...i_k$按如下方式对应：

$$P(i_1)=i_2,\ P(i_2)=i_3,\ ...,\ P(i_k)=i_1$$
而对于其余数码 $x,p(x)=x$ 。则说 $P$ 是一个 $k$ 循环。记作
$$P=(i_1,i_2,...i_n)$$

当然，一个循环不止一种写法。$(i_1,i_2,...i_n)和(i_2,i_3,...i_n,i_1)$ 是一个循环。
两个循环是不交的，如果两个循环中的数码都不相同。如果两个循环不交，那么这两个循环显然是可以交换位置的。例如置换

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 2 & 3 & 1 & 4 & 6 & 5 \end{bmatrix}\quad$$
中有两个循环 $(1,2,3),(5,6)$ ，那么这两个循环无论以何种方式复合，结果都是
$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 2 & 3 & 1 & 4 & 6 & 5 \end{bmatrix}\quad$$
我们再来看一下循环本身，最简单的循环是只有两个数码的循环，比如上面那个例子中的 $(5,6)$ ，要研究那些大的循环，可否将任意一个循环表示成若干2循环的乘积呢？答案当然是肯定的。还是上面那个例子，循环 $(1,2,3)$ 可以表示成 $(1,3)(1,2)$。注意，这两个2循环是相交的，所以不能交换位置。
现在我们介绍两个置换群的子群：
* 设$S=\{1,2,...,n\}$，$G$ 是 $S$ 上的一个置换群，$T$ 是 $S$ 的任意一个子集，令
$G_T=\{P \in G|P(t)=t, t\in T\}$，那么 $G_T$ 是G的一个子群。证明很简单：首先，恒等置换 $i_s$ 必然属于$G_T$，并且是 $G_T$ 的单位元；其次，如果 $P,Q\in G_T$，那么对于 $T$ 中任意元素 $t$，$(PQ)(t)=t$，也就是说 $PQ\in G_T$；最后，如果$P\in G_T$，那么 $(PP^{-1})(t)=(P^{-1}P)(t)=t$。故$G_T$ 是G的一个子群。
* 设$S=\{1,2,...,n\}$，$G$ 是 $S$ 上的一个置换群，$T$ 是 $S$ 的任意一个子集，令
$G^T=\{P \in G|P(t)\subseteq T\}$，那么 $G^T$ 是G的一个子群。证明方法与上面类似，只是需要说明 $P(t)\subseteq T$ 和 $P(t)=T$ 其实是等价的。

这两个子群， $G_T$ 使 $T$ 中的元素保持不动，$G^T$ 使 $T$ 中的元素只在 $T$ 中变动，所以 $G_T\subseteq G^T$。讲完这些回想一下置换一文中提到的三角形变换：
循环 $(1,2),(2,3),(1,3)$ 代表的置换可以构成形如 $G_T$ 的子群。$T$ 分别对应 $\{3\},\{1\},\{2\}$。从几何的角度说，$T$ 称之为对称轴。
循环 $(1,2,3),(2,3,1)$ 代表的置换可以构成形如 $G^T$ 的子群。几何意义是对三角形做120°旋转变换。
置换群还有很多例子,建议高中化学学得不错的小伙伴考虑考虑手性分子结构。对密码学有兴趣的可以搜一下移位密码(一种移位密码)，移位密码一般用环论解释，但个人认为用群论也能够理解。密码学不太了解,如果这里说的有问题，不吝赐教。