置换群&Polya计数简易版学习笔记
前言
这个定理其实我学了蛮久的，就是一直一直没有掌握，原因是太抽象，而且证明也没怎么理解，今天看了Candy？大佬的博客，结合自己少得可怜的抽象代数知识，总算是搞懂了一点点，赶紧来发一波blog
问题引入
抽象的东西自然要把它具象化。
给定一个正方形的四格棋盘，想要给它黑白染色。
显然共有以下16种方案。
但是如果我认为，如果把正方形可以旋转 9 0 ∘ , 18 0 ∘ , 27 0 ∘ 90^\circ,180^\circ, 270^\circ 90∘,180∘,270∘，求有多少种本质不同的正方形呢？
显然只有6种
而置换群就是用来解决这一类问题的。
前置知识
概念1：置换
设 N n = 1 , 2 ⋯ n N_n={1,2\cdots n} Nn=1,2⋯n，则从 N n N_n Nn到 N n N_n Nn上的一个双射 f f f称为一个置换，通常记为：
f = ( 1 2 ⋯ n f ( 1 ) f ( 2 ) ⋯ f ( n ) ) f =\bigl( \begin{matrix} 1 & 2 \cdots & n \\ f(1) & f(2) \cdots & f(n) \end{matrix} \bigr) f=(1f(1)2⋯f(2)⋯nf(n))
上述问题中的旋转就可认为是一种置换。
概念2：置换乘积
假设我们有置换 f , g f,g f,g那么
( f ⋅ g ) ( k ) = f ( g ( k ) ) (f\cdot g)(k)=f(g(k)) (f⋅g)(k)=f(g(k))
通常不满足交换律，但满足结合律。
概念3：置换群
设集合 N n N_n Nn的所有置换的集合为 S n Sn Sn
S n Sn Sn的非空子集 G G G满足：
- 合成运算的封闭性 ∀ f , g ∈ G , f ⋅ g ∈ G ∀f,g∈G, f⋅g∈G ∀f,g∈G,f⋅g∈G
- 单位元 ι ∈ G ι∈G ι∈G
- 逆元的封闭性 ∀ f ∈ G , f − 1 ∈ G ∀f∈G, f^{−1}∈G ∀f∈G,f−1∈G
那么 G G G就是一个置换群。
阶：置换群中元素个数
显然，上述问题的旋转组成了一个置换群。
概念4：置换群的消去律
f ⋅ g = f ⋅ h → f − 1 ⋅ f ⋅ g = f − 1 ⋅ f ⋅ h → g = h f⋅g=f⋅h→f^{-1}\cdot f⋅g=f^{-1}\cdot f⋅h→g=h f⋅g=f⋅h→f−1⋅f⋅g=f−1⋅f
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