抽象代数学习笔记（10） 群的同构

最新推荐文章于 2024-01-11 16:29:57 发布
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抽象代数中，群的同构概念用于表示不同群之间的本质相似性。通过双射函数，如整数群与偶数群的同构映射f(x)=2x，可以揭示群间的结构一致性。同构具有重要的性质，如保持群的运算规则，并在解决代数问题时发挥关键作用。例如，n阶循环群与置换群Sn同构，无限循环群与整数加法群同构，这简化了复杂群的研究。

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历史上，不同的文明发明了他们自己的计数方法。比如 { 一,二,三...},{ one,two,three...} 等等。但是在数学上，我们认为这些计数方法本质是一样的，只是符号不同。或者说这些计数方法之间可以通过某种方式对应起来，当我们说计数方法 A 的一个符号 a ，就可以对应到计数方法 B 的一个符号 b 。于是，就有了同构的概念。

设 (G,+) 是个群， (H,#

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bubingy
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同构——（思维+爆搜）
20164225的博客
07-20 2889
链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/139/D 来源：牛客网   Two undirected simple graphs and where are isomorphic when there exists a bijection on V satisfying  if and only if {x, y} ∈ E2. Given two g...
抽象代数学习笔记（13）群的同态
bubingyang的博客
10-10 5400
抽象代数学习笔记（13）群的同态前面在证明一个映射是否为同构映射的时候，都是先证明映射是一个双射，再证明它是否为同构映射。一个映射为双射是它为同构映射的必要条件。一般来说，条件越多，满足所有条件的可能性就越小，所以人们往往会推而广之，减少条件，使某个概念满足更加普遍的情况（就像矩阵的逆和它的左逆，右逆）。对于同构来说，就有一个更加一般性的概念 — 同态。同态并不要求映射是一个双射，只需要是个满射即可
抽象代数学习笔记四《群：子群、同构、同态》
qq_39800591的博客
03-28 1772
抽象代数学习笔记四《群：子群、同构、同态》 学习笔记参考：《近世代数初步》第2版 高等教育出版社——石生明编著 注：本篇笔记根据博主个人数学的掌握情况整理 课后习题 1、H1,H2,⋯ ,Hk,⋯H_1,H_2,\cdots,H_k,\cdotsH1​,H2​,⋯,Hk​,⋯ 都是群 GGG 的子群，证明： （1）H1∩H2H_1\cap H_2H1​∩H2​ 是子群； （2）⋂i=1∞Hi\bi...
抽象代数 01.04 群的同态与同构
一朵花开的时间
04-28 4902
http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》 §1.4 群的同态与同构\color{blue}\text{\S 1.4 群的同态与同构}§1.4 群的同态与同构 同态与同构是抽象代数研究代数体系的重要工具。一旦证明了一个代数体系与已知的某代数体系同构，我们就可以在抽象的意义下把它看成是已知的那个代数体系。抽象代数最基本最重要的课题，就是搞清楚各种代数体系在...
循环群
weixin_30869099的博客
11-09 2061
设$G$为群,$S$是$G$的子集,$G$中包含$S$上午最小子群叫做由$S$生成的子群,记作$<S>$,即$$<S>=\bigcap_{i}A_{i},S\subset A_{i}$$由于子群之交仍然是子群,这说明包含$S$的子群中确实有最小的.显然若$a\in S$,必然有$a,a^{-1}\in<S>$,因此$$<S>=\left\{...
中科大抽象代数讲义1
08-03
在讲义中，我们可以看到抽象代数的许多重要概念，如群、环、域、同构、同态、quotient 群、Sylow 定理、Lagrange 定理等。这些概念都是抽象代数的基础，对学生有着重要的参考价值。 此外，该讲义还涵盖了许多练习题...
抽象代数学习笔记（14）商群
bubingyang的博客
02-08 5110
上一次提到“商”这个字眼，还是在讲商集的时候。我们将商集看做是以等价关系对集合的一个划分。现在我们更进一步，提出商群的概念。 如果 NNN 是不变子群，那么利用 NNN 可以导出　GGG 上的一个等价关系，　a&nbsp;ba&nbsp;ba~b 当且仅当　a−1b∈Na−1b∈Na^{-1}b\in N ，也就是 a,ba,ba,b　同属于　NNN 的一个左陪集。 （证明： 首先a−1a∈...
抽象代数学习笔记（12）群上的可逆映射
bubingyang的博客
09-25 1992
上一篇博客介绍了几种重要的群上的可逆变换，由于篇幅限制，没有写完，剩余的内容将在这一篇中了结。 设 GG 是个群， aa 是 GG 的一个固定元素，通过 aa 可以导出 GG 到 GG 的映射 γ\gamma ， γa(x)=axa−1\gamma_a(x)=axa^{-1} 那么， γa\gamma_a 是 GG 到 GG 的同构映射，称为内自同构。 这个命题的证明和左乘变换的证明
循环群与群同构
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2301_79733688的博客
01-11 839
只要存在整数k使得n的k次幂，使得回到自身，即是对应的生成元。显然对于每一个循环群的阶数的每个因子d，都有一个对应的子群。显然，群的阶数就是生成元的阶数。有限循环群的生成元有如下命题。无限循环群的生成元很特殊。循环群的子群有如下结论。
近世代数--群同构--第一同构定理
qq_41545715的博客
10-29 5405
信息安全数学基础--群环域--群同态等价式先验知识群同态等价式f=σφ,f=\sigma\varphi,f=σφ,证明σ\sigmaσ是同构的 博主是初学信息安全数学基础（整除+同余+原根+群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。 先验知识 正规子群：∀a∈G,H≤G,\forall a\in G,H\le G,∀a∈G,H≤G,有aH=Ha,aH=Ha,aH=Ha,则称HHH是GGG的正规子群，记作H◃G。H\triangleleft G。H◃G。
计算机数学基础教案,信息安全数学基础教案(禹勇)
weixin_28716181的博客
07-09 8530
教 师 教 案( 2009—2010 学年第 一 学期 )课 程 名 称：信息安全数学基础授 课 学 时：40学时授 课 班 级：信息安全专业，～60班任 课 教 师：禹勇教 师 职 称：讲师教师所在学院：计算机科学与工程学院电子科技大学课程名称信息安全数学基础授课专业班级~年级大二课程编号修课人数78课程类型必修课普通教育课程( )；学科基础课 (* ) ； 专业方向课 ( )选...
【离散数学】复习:近世代数、格与布尔代数
daixd5520的博客
12-10 2044
说明:仅用作应试杂碎知识点备忘,不是知识点总结;大部分源自吉大离散真题 先放个梳理: 群 单位元e的周期为1.群中周期(阶)为1的元素有且仅有一个(就是单位元) 群G的平凡子群有两个,{e}和G本身. 循环群生成元的周期(阶)等于群的阶.(G=(a)→\rightarrow→|G|=|a|) 存在一个元素的周期(阶)等于群G的阶,那么这个群G必为循环群. 有限群G的子群H的阶整除G的阶.(Lagrange定理)(推论:有限群G中任一元素的阶整除群G的阶.因为每个元素a都能作为生成元生成一个G的子群H,而
代数-抽象代数
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Jack Zhou的专栏
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1. 集合论基础 （1）等价关系：集合X上的二元关系定义为的一个子集。如果它还满足反身性、对称性、传递性，则为等价关系。 商集：X的全体等价类构成的集合， （2）笛卡尔积的一般定义：笛卡尔积中的每个元素实际上都对应一个函数，这个函数定义为。因此集族的笛卡尔积定义为下标函数的集合 （3）偏序集：集合上P附加一个偏序关系，即满足反身性、传递性、反对称性的二元关系，记作。 偏序集的同构：偏...
群—深入
Ehco00x0的博客
04-11 1304
几种特殊类型的群 循环群 单群及其单性几种特殊类型的群循环群定义 ： 　循环群（由一个元素生成的群是最简单的群） 若由群G的一个生成元素g的幂次构成G群，即G={g，g2，…，gn}则称G为循环群。元素g称为G的生成元素。定理： 1）无限循环群必同构于整数加法群ZZ，有限循环群必同构于整数加法群的某个商群Z/mZZ/mZ2)有限循环群G=《a》的子群仍为循环群。确切说，每个s∈Z⩾0对应于子群《
群的基本概念
Ehco00x0的博客
03-24 2万+
群的定义和简单性质 定义，如果一个非空集合G上定义了一个二元运算o，满足： 1）结合律，推广（广义结合律：对于任意有限多个元素....） 2）存在幺元（单位元） 3）存在逆元 4）交换律（满足的话，称G为交换群或Abel群） 半群——非空集合S有二元运算，此运算满足结合律 幺半群——具有幺元的半群 命题： 1）群的幺元唯一 2）群中任一元素的逆元唯一 3）群中
群同态基本定理证明_自由群的定义及相关
weixin_39891694的博客
12-23 2601
本篇文章谈谈抽象代数中的自由群这个概念，主要是为代数拓扑中的应用而服务的。相关参考主要来自丘维声老师的《抽象代数》[1]。一、预备知识1.1 生成元集的定义和相关命题定义1 设 是群 的一个非空子集，把包含 的 的最小子群记作 . 如果 ，则称 是 的生成元集，或者说 的所有元素生成 。如果 是有限集，则称 是有限生成的。评注 显然，群 自身便是它的一个生成元集，这一点是...
C++同构数计算
m0_73921850的博客
10-18 3575
题目: 编写程序，找出1-99之间的全部同构数。同构数是这样一组数：它出现在平方数的右边。例如：5是25的右边的数，25是625右边的数，5和25都是同构数。 题目分析: 题目要找出1-99之间的全部同构数，首先要想到的是运用循环语句来求解，这里我运用的是while循环语句，数字1-99可以分为两种类型，一位数和二位数。将i设为1-99之间的数字，i的平方得数可以分为四种（一、二、三、四位数），但i无法与一位数的得数够成同构数，所以排除一位数的得数。我们可以运用取余（%）的
1.5 群的同构
某一般线性空间
01-20 4997
1.5 群的同构
抽象代数学习笔记（16）子环
05-25
在抽象代数中，子环是一个环中的一个子集，它是一个环的子代数，意味着它包含了环的乘法单位元素，并且它对于环的加法和乘法运算是封闭的。 具体来说，设 $(R, +, \cdot)$ 是一个环，$S$ 是 $R$ 的一个非空子集。如果 $S$ 对于 $R$ 的加法和乘法运算也构成一个环，那么 $S$ 是 $R$ 的子环。换句话说，如果 $S$ 满足以下条件，则 $S$ 是 $R$ 的子环： 1. 对于 $S$ 中任意两个元素 $a, b$，$a + b \in S$。 2. $S$ 对于 $R$ 的加法运算满足封闭性。 3. $S$ 对于 $R$ 的乘法运算满足封闭性。 4. $S$ 包含 $R$ 的乘法单位元素 1。 需要注意的是，$S$ 不需要是 $R$ 的子集环，因为 $S$ 可能没有包含 $R$ 的所有元素。 下面是一些子环的例子： 1. 任何环 $R$ 的子集 $\{0\}$ 和 $R$ 都是 $R$ 的子环。 2. 整数环 $\mathbb{Z}$ 的所有子环都是形如 $n\mathbb{Z}$ 的集合，其中 $n$ 是 $\mathbb{Z}$ 中的一个非负整数。 3. 多项式环 $F[x]$ 的所有子环都是形如 $I = \{f(x) \in F[x] \mid f(a) = 0\text{ 对于某个 }a \in F\}$ 的集合，其中 $F$ 是一个域。这些子环被称为多项式环 $F[x]$ 的零点理想。 子环的概念在研究环同构和理想时非常有用。例如，如果一个环 $R$ 中的子环 $I$ 是一个理想，那么 $R/I$ 是一个商环，并且 $R$ 和 $R/I$ 是同构的。
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