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原创【抽代复习笔记】34-群（二十八）：不变子群的几道例题

（3）H = {(1),(12)}≤S₃，但对于(123)∈S₃，(123)H = {(123),(13)}，而H(123) = {(123),(23)}，即(123)H ≠ H(123)，所以不满足不变子群的条件，所以(n₁ o n₂) o a = n₁ o (n₂ o a) = n₁ o (a o n₂) = (n₁ o a) o n₂ = (a o n₁) o n₂ = a o (n₁ o n₂)，对∀x∈G，有x = (a o a^(-1)) o x = a o (a^(-1) o x)∈aG，

2024-10-31 15:45:32 590

原创【抽代复习笔记】33-群（二十七）：几道例题及不变子群的定义

由b ~ e可得（左右两端均左乘(a^(-1) o a)）：(a^(-1) o a) o b ~ (a^(-1) o a) o e = a^(-1) o a，从而a o e ~ a o a^(-1)(= e)，两边消去a，得e ~ a^(-1)，根据等价关系的对称性，有a^(-1) ~ e，所以a^(-1)∈H。解：（1）(1)H = {(1),(12)}，(13)H = {(13),(123)}，(23)H = {(123),(132)}，（1）写出H在S₃中的左陪集(1)H,(13)H,(23)H；

2024-10-31 12:54:25 522

原创【抽代复习笔记】32-群（二十六）：三道例题

比如取a = (12)(34)，b = (13)(24)，则φ(a o b) = φ((12)(34) o (13)(24)) = φ((14)(23)) = c，由上面运算表可知a o b = c，所以φ((12)(34) o (13)(24)) = φ((12)(34)) o φ((13)(24))，定义φ：K₄→G为：φ((1)) = e，φ((12)(34)) = a，φ((13)(24)) = b，φ((14)(23)) = c，所以(123)≠(132)，即(12)(13)≠(13)(12)，

2024-10-13 15:19:56 432

原创【抽代复习笔记】31-群（二十五）：子群的拉格朗日定理和推论

（1）K₄（克莱因四元群）= {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，其子群有平凡子群{(1)}和K₄，非平凡子群((12)(34))(={(1),(12)(34)}),((13)(24))(={(1),(13)(24)})，((14)(23))(={(1),(14)(23)})和{(1),(12)(34),(13)(24)}。G是有限群，H≤G，则[G:H] = |G|/|H|，从而|G| = |H|·[G:H]，即|H|、[G:H]均整除|G|。

2024-10-13 09:13:43 556

原创【抽代复习笔记】30-群(二十四)：关于陪集的一个定理

（8）①按照规定，(1)K₄ o (123)K₄ = (123)K₄∈A₄/K₄，(1)K₄ o (132)K₄ = (132)K₄∈A₄/K₄，(123)K₄ o (132)K₄ = (1)K₄∈A₄/K₄，即任取a,b∈A₄/K₄，都有a o b∈A₄/K₄，因此满足群公理的第一条封闭性；（8）设A₄/K₄ = {(1)K₄,(123)K₄,(132)K₄}，规定：aK₄ o bK₄ = (a o b)K₄，判断A₄/K₄关于给定的乘法能否做成一个群？若能，判断这个群与哪个群同构？

2024-09-28 15:13:36 456

原创【抽代复习笔记】29-群（二十三）：生成子群的两道例题及子群陪集的定义

例1：取S3的子集S = {(12),(123)}，S的生成子群包含哪些元？一个群的两个不同的子集会不会生成相同的子群？解：（1）S的生成子群就是S3。证明[有不理解之处可以回头看看第27篇笔记中生成子群的定义]：任取m,n∈Z，对于m，当m为奇数时，(12)ᵐ = (12)，当m为偶数时，(12)ᵐ = (1)；对于n，当n=3k时，(123)ⁿ = (1)，当n=3k+1时，(123)ⁿ = (123)，当n=3k+2时，(123)ⁿ = (132)；

2024-09-28 11:14:23 855

原创【抽代复习笔记】28-群（二十二）：四道子群例题

其次，(1)(123) = (123)∈{(1),(123),(132)}，(1)(132) = (132)∈{(1),(123),(132)}，(123)(132) = (1)∈{(1),(123),(132)}，即对任意的a,b∈{(1),(123),(132)}，均有a o b∈{(1),(123),(132)}，这满足了子群第一判定定理的第一条；解：{(1)},{(1),(12)},{(1),(13)},{(1),(23)},{(1),(123),(132)},S3，用子群的第一判定定理可证明，

2024-09-07 15:17:04 923

原创【抽代复习笔记】27-群（二十一）：子群与生成子群

②且当m = n = ...... = k = 0时，(a1^m o b1^n o ...... o c1^k) o (a2^m o b2^n o ...... o c2^k) = (a1^0 o b1^0 o ...... o c1^0) o (a2^0 o b2^0 o ...... o c2^0) = (e o e o ... o e) o (e o e o ... o e) = e o e = e，所以S的生成子群为{(1),(123),(132),(12),(13),(23)} = S3。

2024-09-07 09:32:34 471

原创【抽代复习笔记】26-群（二十）：子群的定义以及第一、第二判定定理

首先，（1）表明群公理第一条封闭性成立；③对任意的a,b∈H，由②知b^(-1)∈H，从而a o b = a o [b^(-1)]^(-1)∈H，这证明了子群第一判定定理中的（1），再者，根据（2），由a∈H可推出a^(-1)∈H，而因为a,a^(-1)∈H，所以根据（1），[a o a^(-1)]∈H，且H是G的子集，所以a,a^(-1)∈G，而(G,o)又是一个群，所以a o a^(-1) = e，②对任意a∈H，a在H中的逆元a(H)^(-1)和a在G中的逆元a(G)^(-1)一样，即。

2024-07-04 14:14:50 1297

原创【抽代复习笔记】25-群（十九）：一个关于循环群的重要定理以及三道证明例题

对任意的a^m,a^n∈G，有Φ(a^m o a^n) = Φ(a^(m+n)) = a1^(m+n) = a1^m o1 a1^n = Φ(a^m) o1 Φ(a^n)，所以Φ是同态映射，从而Φ(b) = Φ(a^m) = Φ(a o a o ... o a)(m个a) = Φ(a) o1 Φ(a) o1 ... o1 Φ(a)(m个Φ(a)) = [Φ(a)]^m，证：设G = (a)，对任意的a^m,a^n∈G，有a^m o a^n = a^(m+n) = a^n o a^m，

2024-07-04 13:14:17 562

原创【抽代复习笔记】24-群（十八）：循环群的两道例题

③由f((123)^k) = f((123)^h)，可得出[k] = [h]，从而(123)^k = (123)^h，因为假若(123)^k ≠ (123)^h，则(123)^(k-h) ≠ (123)^(h-h) = (1)，这样[k]-[h] = [k-h]＝f((123)^(k-h)) ≠ f((123)^(h-h)) = [h-h] = [0]，即[k] - [h] ≠ [0]，即[k] ≠ [h]+[0] = [h]，这与前提条件矛盾，所以(123)^k = (123)^h，

2024-06-30 19:33:56 729

原创【抽代复习笔记】23-群（十七）：循环群基本定理及其证明

③由g(a^k) = g(a^h)，可得[k] = [h]，若k,h＜n，则显然a^k = a^h，若k,h中有至少一个大于等于n，则可运用上面的带余除法，得出r1,r2(0 ≤ r1,r2＜n)，使得a^k = a^r1,a^h = a^r2，从而g(a^k) = g(a^r1) = [r1] = [k]，g(a^h) = g(a^r2) = [r2] = [h]，从而a^r1 = a^r2，即a^k = a^h，对任意a^k,a^h∈G2，有a^k ≠ a^h，其中 0 ≤ h＜k ≤ n-1，

2024-06-30 13:59:25 863

原创【抽代复习笔记】22-群（十六）：模n的剩余类加群

②对任意的[a],[b],[c]∈Z5，有([a]+[b])+[c] = [a+b]+[c] = [a+b+c]，[a]+([b]+[c]) = [a]+[b+c] = [a+b+c]，所以([a]+[b])+[c] = [a]+([b]+[c])，因此适合结合律，即满足了群公理的第二条结合律；③当a＜0时，[a] = [-1]+[-1]+...+[-1](-a个[-1]相加) = [-1]^(-a) = [1^(-1)]^(-a) = [1]^a.综上，对任意的[a]∈Z5，都有[a] = [1]^a。

2024-06-22 15:41:20 1131

原创【抽代复习笔记】21-群（十五）：循环群引理及定义

例4：证明，如果σ=(i1 i2 … ik)是Sn中的一个k-循环，而r∈Sn，则rσr^(-1)也是一个k-循环，且rσr^(-1)=(r(i1),r(i2),…,r(ik))。证：①设σ=(i1 i2 … ik)=(i1 ik)(i1 ik-1)…(i1 i2)，

2024-06-22 10:18:36 1022

原创【抽代复习笔记】20-群（十四）：定理6的补充证明及三道循环置换例题

解：因为 (123)(1) = (1)(123) = (123)，(123)(132) = (132)(123) = (1)，所以(1)、(132)和(123)均可以交换；而(12)(123) = (23)，(123)(12) = (13)，故 (12)(123) ≠ (123)(12)，因此(12)和(123)不可交换；,(1n)中若干个的乘积；因此(σ o r)(i) = (r o σ)(i) = tn，即σr = rσ。因此(σ o r)(i) = (r o σ)(i) = i，即σr = rσ。

2024-06-18 17:01:16 558

原创【抽代复习笔记】19-群（十三）：奇偶置换、循环置换的几个定理及例题

（2）(1254)^2 = (1254)(1254) = (15)(24)，(1254)^3 = (1254)(1254)(1254) = (15)(24)(1254) = (1452)，(1254)^4 = (1254)(1254)(1254)(1254) = (1452)(1254) = (1)，所以|(1254)| = 4；（4）[(13)(24)]^2 = (13)(24)(13)(24) = (1)，所以|(13)(24)| = 2。同理，任取r∈Sn - An，(12)σ ∈ An，

2024-06-14 02:44:13 1656

原创【抽代复习笔记】18-群（十二）：置换练习题（2）及两个重要定理

所以S4 = {(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(124),(134),(234),(132),(142),(143),(243),(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}。练习7：在S6中计算：(12)(13)(14)，(12)(14)(16)，(13)(14)(15)(16)，(13)(12)(14)，(16)(14)(12)。1和4的对换(14);

2024-05-19 15:36:59 1388

原创【抽代复习笔记】17-群（十一）：置换的练习题（1）

综上，按从右往左的顺序乘，结果是1变成4，2变成3，3变成5，4变成1，5变成2，注意到1和4是对换，即1和4之间的置换与2,3,5之间的置换是相互独立、互不影响的，所以可以记为(14)(235)（1和4先对换，然后2变3、3变5、5变2，或者先2变3、3变5、5变2，再将1,4对换）。(1)可参考第13篇关于变换群引理的笔记，A上的所有置换包括：恒等变换(1)、1和2的对换(12)、2和3的对换(23)、1和3的对换(13)、1→2→3的置换(123)和1→3→2的置换(132)共6种，

2024-05-02 23:06:51 1103 1

原创【抽代复习笔记】16-群（十）：变换群中的置换群

例3：设S是一个集合A的所有变换作成的集合，定义r：a→a1=r(a)，证明：我们可以用r1r2：a→r1[r2(a)]=r1r2(a)来规定一个S的乘法，这个乘法也适合结合律，并且对于这个乘法来说，ɛ(恒等变换)还是S的单位元。证：①设任意的r1,r2∈S，任意的a∈A，则r1(a),r1[r2(a)]都是A中唯一确定的元，那么题中定义的r1r2是S中唯一确定的元，且是一个S的乘法；②设任意的r3∈S，则有：所以(r1r2)r3 = r1(r2r3)，即规定的乘法适合结合律；

2024-04-27 13:23:25 2234

原创【抽代复习笔记】15-群（九）：凯莱定理

（2）可令f(x) = x+1∈G，g(x) = 2x∈G，则(f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x) = 2x+1，而(g o f)(x) = g[f(x)] = g(x+1) = 2(x+1) = 2x+2，因此(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)，所以G不是一个交换群。令r^(-1)(1) = 1,r^(-1)(n) = n-1(n>1)，这个r^(-1)显然也是非一一变换，因为r^(-1)(1) = r^(-1)(2) = 1(不是单射)，（其中o为变换的复合）

2024-04-25 17:15:31 990 2

原创【抽代复习笔记】14-群（八）：变换群中的旋转、位似、平移变换群

④假设对于任意的f(x)=x+a∈G和任意的x∈R，存在f^(-1)，使得(f^(-1) o f)(x) = f^(-1)[f(x)] = f^(-1)(x+a) = ɛ(x) = x，则f^(-1)=x-a=x+(-a)∈G，因此对于任意的f(x)∈G，f(x)都存在逆元，所以也满足群公理的第五条。①对任意的f,g∈G，由映射的性质（见第03篇笔记）可知，一一变换的乘积（复合）还是一一变换，即(f o g),(g o f)∈G，因此满足群公理的第一条：封闭性；

2024-04-23 17:42:24 1048

原创【抽代复习笔记】13-群（七）：变换群引理

证：①(1)(12) = (12)(1) = (12)∈S₃，(1)(13) = (13)(1) = (13)∈S₃，(1)(23) = (23)(1) = (23)∈S₃，(1)(123) = (123)(1) = (123)∈S₃，(1)(132) = (132)(1) = (132)∈S₃，它们同时也是集合A = {1,2,3}上所有一一变换的全体，设S₃ = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么S₃关于变换的乘法（或者说“复合”）作成一个非交换群。

2024-04-21 16:25:21 877 1

原创【抽代复习笔记】12-群（六）：群与运算表、群与同态的一些关系

当x被3整除余数为2时，f(x) = 2。（2）当x,y被3整除，余数均为1时，x+y被3整除，余数为2，此时f(x+y) = 2，f(x) = f(y) = 1，（3）当x,y被3整除，余数均为2时，x+y被3整除，余数为1，此时f(x+y) = 1，f(x) = f(y) = 2，所以f(x) = f(y) = f(x+y) = 0，由运算表知f(x) o f(y) = 0 o 0 = 0，由运算表知f(x) o f(y) = 2 o 2 = 1，因此也有f(x+y) = f(x) o f(y)；

2024-04-19 17:46:50 783

原创【抽代复习笔记】11-群（五）：定理16-20以及群的第三定义

那么将等式两端同时右乘以a^j的逆元(a^j)^(-1)，而由前面第09篇文章的定理10，我们有(a^j)^(-1) = a^(-j)，因此等式的两端右乘a^j的逆元后，可得：a^i o a^(-j) = a^j o a^(-j) ⇉(同定理10)⇉ a^(i-j) = a^(j-j) ⇉ a^(i-j) = a^0 = e，而(a o b) o (b o a) = a o (b o b) o a = a o b^2 o a = a o e o a = a^2 = e，

2024-04-17 16:16:51 762 1

原创【抽代复习笔记】10-群（四）：关于群元素的阶

证：①对于任意的a∈G，假设a的阶为有限数，令a^n = e，a^(-1)为a的逆元，因为[a^(-1)]^n = [a^n]^(-1) = e^(-1) =(单位元的逆元等于它自身)= e，设|a^(-1)| = m，则[a^(-1)]^m = e，且m|n(m整除n)，又a^m = [(a^m)^(-1)]^(-1) = {[a^(-1)]^m}^(-1) = e^(-1) = e，因此n|m，因为m,n互相整除，所以有m = n。当a = 1时，由于1^1 = 1，所以|1| = 1；

2024-04-15 12:03:21 2002 1

原创【抽代复习笔记】09-群（三）：定理6的两个扩展及补充定理

②当m,n皆为负整数时，由开头的规定，我们有：a^m o a^n = [a^(-1)]^(-m) o [a^(-1)]^(-n) = [a^(-1)]^[(-m)+(-n)] = [a^(-1)]^[-(m+n)] = a^(m+n)；②当n=0时，由本文开头的规定知，(a o b)^n = (a o b)^0 = e，a^n o b^n = a^0 o b^0 = e o e = e，因此也有(a o b)^n = a^n o b^n；=(G是交换群)= [a^(-1) o b^(-1)]^(-n)

2024-04-13 11:30:27 659 1

原创【抽代复习笔记】08-群（二）：四个定理

当n=3时，(a o b)^3 = (a o b) o (a o b) o (a o b) = (b o a) o (a o b) o (b o a) = b o (a o a) o (b o b) o a = (b o a^2) o (b^2 o a) = (a^2 o b) o (b^2 o a) = a^2 o (b o b^2) o a = a^2 o (b^3 o a) = a^2 o (a o b^3) = (a^2 o a) o b^3 = (a^3) o (b^3)；（待续......）

2024-04-11 10:52:04 668 1

原创【抽代复习笔记】07-群（一）

②假定群(G,o)满足第二定义，根据公理（4）和公理（5），群(G,o)存在左单位元e、以及任意G中任意元素a均存在左逆元a1，那么对于方程a o x = b，方程两边同时左乘a的左逆元，可得：a1 o (a o x) = (a1 o a) o x = e o x = x = a1 o b，因为a1,b∈G，根据公理（1）的封闭性，可得x = a1 o b∈G，这就证明了对任意的a,b∈G，方程a o x = b在G中都有解；公理（4）：存在e∈G，对任意的a∈G，都有：e o a = a；

2024-04-09 23:03:27 1887

原创【抽代复习笔记】06-“关系”与“分类”

（2）设A是一个非空数集，R1是A的一个子集，定义R为从A×A→D的一个映射，且对任意的(a,b)∈A×A，当(a,b)∈R1时，R(a,b) = 对，当(a,b)不属于R1时，R(a,b) = 错，定义2：设A是一个非空子集，A×A的子集R1为“A上的一个关系”，对任意的(a,b)∈A×A，当(a,b)∈R1时，称a与b有关系R1，当(a,b)不属于R1时，则称a与b没有关系R1。也就是说，当a与b有关系R1时，R(a,b) = 对，当a与b没有关系R1时，R(a,b) = 错，

2024-04-06 13:13:51 2070 1

原创【抽代复习笔记】05-关于同构

因此，f(b) ⊙1 (f(a) ⊕1 f(c)) = f(b) ⊙1 f(a⊕c) = f(b⊙(a⊕c)) = f((b⊙a)⊕(b⊙c)) = f(b⊙a) ⊕1 f(b⊙c) = (f(b) ⊙1 f(a)) ⊕1 (f(b) ⊙1 f(c))，更简洁的写法如下：已知由b o a = b o c可以推导出a = c，那么f(b) o1 f(a) = f(b) o1 f(c) → f(b o a) = f(b o c) → b o a = b o c → a = c → f(a) = f(c)。

2024-04-02 18:40:13 885 1

原创【抽代复习笔记】04-关于变换以及同态的三个重要定理

f(b) ⊙1 (f(a) ⊕1 f(c)) = f(b) ⊙1 f(a⊕c) = f(b⊙(a⊕c)) =(⊙与⊕适合左分配律)= f((b⊙a)⊕(b⊙c)) = f(b⊙a) ⊕1 f(b⊙c) = (f(b) ⊙1 f(a)) ⊕1 (f(b) ⊙1 f(c))对任意的a,b∈A，有(g o f)(a o b) = g[f(a o b)] = g[f(a) o1 f(b)] = g[f(a)] o2 g[f(b)] = (g o f)(a) o2 (g o f)(b)，

2024-03-31 01:26:05 839 1

原创【抽代复习笔记】03-分配律与映射（双射、复合映射、逆映射）

设⊕、⊙为集合A上的代数运算（根据上一篇文章的讲述，即∀a、b∈A，有a⊕b∈A和a⊙b∈A），如果对于任意的a1、a2、b∈A，都满足以下的等式：则可以说：⊙对于⊕适合左分配律（也称“第一分配律”）。同理，如果对于任意的a1、a2、b∈A，都满足以下的等式：则可以说：⊙对于⊕适合右分配律（也称“第二分配律”）。如果⊙对于⊕既适合左分配律、也适合右分配律，则称⊙对于⊕适合分配律。

2024-03-27 01:05:38 893

原创【抽代复习笔记】02-关于代数运算（结合律、交换律、消去率）

上一篇链接：【[抽代复习笔记】01-关于笛卡尔积 - 优快云 App】http://t.csdnimg.cn/MxgAF。

2024-03-24 16:31:46 1654 1

原创【抽代复习笔记】01-关于笛卡尔积

设A、B是两个集合，则A×B表示集合A和集合B的笛卡尔积，其中这个笛卡尔积中的每个元素记为(c,d)，其中c是集合A中的元素，d是集合B中的元素。用语言来描述就是，两个集合的笛卡尔积，它的每个元素是一个数对，这个数对的第一个元素来自集合A，第二个元素来自集合B。推广之后可以得到：n个集合的笛卡尔积A1 × A2 × A3 × ...... × An表示的集合为{(a1,a2,a3,......an)|其中ai∈Ai}。

2024-03-24 00:59:42 1017 1

原创 Java练习题：罗马数字转整数

数字 1 在数字 5 的左边，所表示的数等于大数 5 减小数 1 得到的数值 4。同样地，数字 9 表示为。通常情况下，罗马数字中小的数字在大的数字的右边。但也存在特例，例如 4 不写做。虽然能正常输出结果，但是这个答案是错误的，我没有考虑到罗马字母的顺序问题。罗马数字从小到大排列为：I,V,X,L,C,D,M。若小字母排在大字母的右边，则加上该字母代表的数字。若小字母排在大字母左边，则减去该字母代表的数字；给定一个罗马数字，将其转换成整数。通过本题学到一个罗马字母的规律——，即为两个并列的 1。

2024-02-10 22:24:57 534 1

原创 Java练习题：回文数

从左向右读, 为 -121。从右向左读, 为 121-。因此它不是一个回文数。回文数是指正序（从左向右）和倒序（从右向左）读都是一样的整数。（发现我的方法比较简单粗暴。之后可以挑战一下进阶的方法。从右向左读, 为 01。因此它不是一个回文数。你能不将整数转为字符串来解决这个问题吗？是一个回文整数，返回。

2024-02-08 02:02:30 441

原创 Java练习题：两数之和

给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target，请你在该数组中找出和为目标值 target 的那两个整数，并返回它们的数组下标。你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。你可以按任意顺序返回答案。

2024-02-02 17:33:44 524

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