23、浮点 LLL 算法：理论与实践方面

浮点 LLL 算法：理论与实践方面

1. 浮点 LLL 算法执行问题

浮点 LLL 算法的执行与有理 LLL 算法的执行有较大不同。在 NTL 的 LLL 实现中，用户需尝试给定的精度。若执行时间过长，用户只能停止并以更高精度或更可靠的变体重新启动，但却不清楚是算法本身表现不佳（此时提高精度可能有帮助），还是算法本身就需要较长时间完成（此时提高精度会使过程更慢）。从用户角度看，缺乏错误检测和解释功能十分恼人，在 NTL 和 LiDia 中，用户可能需要尝试多种变体才能成功。

2. L2 算法的实现

在实现 L2 算法时，实际操作中应先尝试启发式变体，再考虑有保证的 L2 算法。可从两方面弱化 L2 算法：一是仅使用基矩阵而非 Gram 矩阵；二是使用远低于理论保证精度的浮点精度。

2.1 浮点算术的四层结构

• 双精度 ：速度极快，但指数位（11 位）和精度（53 位）有限。指数限制使得只能转换小于 1022 位的整数（若要转换 Gram 矩阵，位数约减半）。有限的精度虽影响不大，但无法处理高维情况。
• 带额外指数的双精度（dpes） ：速度仍然较快，但精度限制依旧存在。
• 启发式扩展精度 ：若需要更高精度，可使用任意精度的浮点数。根据 L2 算法分析，精度 $\ell \approx \log \frac{(1+\eta)^2}{\delta - \eta^2} \cdot d$ 总是足够的，但可先尝试启发式的较低精度。
• 可