18、格基约化算法的进展与比较

格基约化算法的进展与比较

1. 引言

在格基约化领域，不同算法各有优劣。C.P. Schnorr 算法精度高，不受浮点误差影响，松弛可忽略。当维度 $n > 350$ 时，缩放的 LLL - 约化（Scaled LLL - reduction）很有用，因为此时 LLLH 会变得不准确。2002 年，在 800 MHz 的 PC 上，用 10 小时就完成了维度为 1000、由 400 位整数组成的格基约化。

2. 算法比较

2.1 与其他算法的对比

与 [65] 和 [73] 的模块化 LLL 算法相比，定理 7 改进了 [S88] 理论方法的时间界限和精度，[S88] 使用近似有理算术。模块化 LLL [73] 使用标准矩阵乘法，对长度为 $\log_2(M_0M)$ 的整数执行 $O(nm \log_{1/\delta} M)$ 算术步骤，其中 $M = \max(d_1, \ldots, d_n, 2n)$。若 $M_0 = 2^{\Omega(n)}$，[65, 73] 的 LLL 算法在渐近意义上与 LLLH 的位运算次数界限匹配，但它们都不是关于 $M_0$ 的二次算法。LLLH 的实用性在于使用长度为 $1.11n + \log_2 M_0$ 的小整数，而 [73] 使用长度为 $\log_2(M_0M) = O(n \log M_0)$ 的长整数。

2.2 半块 2k - 约化和原始 - 对偶约化

半块 2k - 约化（Semi block 2k - reduction）和 Koy 的原始 - 对偶约化（Primal–dual reduction）都在维度 2k 上执行 HKZ - 约化，