10、小直径图的快速替换路径算法与少分割顶点的无环着色

小直径图的快速替换路径算法与少分割顶点的无环着色

1. 小直径图的快速替换路径算法

1.1 问题引入

在无向图的边故障场景下，替换路径问题是指：给定一个 2 - 边连通图 $G(V, E)$，对于图 $G$ 中最短 $s - t$ 路径上的每条边 $e$，找出图 $G \setminus e$ 中的最短 $s - t$ 路径。

1.2 现有解决方案

• 平凡解法 ：对每条边 $e$，独立地在 $G \setminus e$ 上运行最短路径算法来计算替换路径。若图的直径为 $d$，由于最短路径上最多有 $d$ 条边，此方法的时间复杂度为 $O(d(m + n \log n))$。
• Malik 等人的解法 ：该算法时间复杂度为 $O(m + n \log n)$，包含两个主要部分：
  • 找到以 $s$ 和 $t$ 为根的最短路径树。
  • 利用最短路径树为 $s - t$ 路径上的每条边报告替换路径。

1.3 新算法

提出了一种新的算法来解决第二部分问题，该算法的时间复杂度为 $O(m + d^2)$。若 $d = O(\sqrt{m})$，则第二部分算法的时间复杂度为线性。若图的边权为整数，可使用 Thorup 的线性时间算法来解决第一部分问题；若图是平面图，则可使用 Henzinger 等人的 $O(n)$ 时间最短路径算法，从而使整个问题的算法达到线性时间。

1.4 边故障时的替换路径