21、具有小直径路径幂的无线电 k 着色线性算法

具有小直径路径幂的无线电 k 着色线性算法

1. 引言与主要结果

无线电着色理论及其变体是无线网络中频道分配问题（CAP）的流行且知名的数学模型。本文聚焦于无线电 k 着色这一特定变体的理论方面。

对于图 (G)，其无线电 k 色数 (rck(G)) 是最小整数 (\lambda)，使得存在函数 (\varphi : V(G) \to {0, 1, \cdots, \lambda}) 满足 (|\varphi(u) - \varphi(v)| \geq k + 1 - d(u, v))，其中 (d(u, v)) 表示 (u) 和 (v) 之间的距离。

目前，已经为不同的图族建立了 (rck(\cdot)) 的若干上下界。例如，Liu 和 Zhu 计算了在 (k) 等于直径的特定情况下，路径和循环的 (rck(\cdot)) 的确切值。

在本文中，我们关注直径严格小于 (k) 的路径幂，并计算 (rck(P_m^n)) 的精确值，其中 (P_m^n) 表示具有 ((n + 1)) 个顶点的路径 (P_n) 的 (m) 次幂图。具体来说，(P_m^n) 是通过在距离至多为 (m) 的 (P_n) 顶点之间添加边得到的，它是一个区间图。

我们的主要定理如下：
定理 1 ：对于所有 (k > diam(P_m^n)) 且 (m \leq n)，有
[
rck(P_m^n) =
\begin{cases}
nk - \frac{n^2 - m^2}{2m} & \text{如果 } \lceil\frac{n}{m}\rceil \text{ 是奇数