33、《LLL算法与整数规划：理论、算法与应用》上半部分

《LLL算法与整数规划：理论、算法与应用》上半部分

1. 引言

整数规划在离散数学的诸多领域都有着重要应用，而LLL算法在其中展现出强大的理论和实践价值。整数规划可行性问题定义为：对于给定的多面体 $P = {x \in \mathbb{R}^n | Ax \leq d}$（其中 $A$ 是 $m \times n$ 整数矩阵，$d$ 是 $m$ 维整数向量，且 $P$ 有界且满维），是否存在向量 $x \in P \cap \mathbb{Z}^n$ ？这个问题是NP完全问题，并且与整数规划优化问题 $\max{c^T x | x \in P \cap \mathbb{Z}^n}$ 相关，其中 $c$ 是 $n$ 维向量。

组合优化问题通常是整数优化问题，其整数变量取值仅为0或1，例如子集和问题、匹配问题和旅行商问题。1981年，Lenstra证明了在固定维度 $n$ 的情况下，整数规划可行性问题可以在多项式时间内解决，其证明是算法性的，主要辅助算法是格基约简，最终使用了LLL基约简算法。

2. 符号说明

• 向量和矩阵 ：向量和矩阵用粗体表示。$x_j$ 表示向量序列中的第 $j$ 个向量，向量 $x$ 的第 $i$ 个元素记为 $x_i$，矩阵 $A$ 的 $(i, j)$ 元素记为 $A_{ij}$。向量 $x \in \mathbb{R}^n$ 的欧几里得长度记为 $|x|$，计算方式为 $|x| = \sqrt{x^T x}$，其中 $x^T$ 是向量 $x$ 的转置。
• 格 ：设 $b_1, \cdots, b_l$ 是 $\mathb