53、求解最小分支顶点问题的迭代细化算法

求解最小分支顶点问题的迭代细化算法

1. 引言

在网络优化领域，最小分支顶点问题（MBV）是一个备受关注的问题。给定一个无向无权图 $G = (V, E)$，MBV 的目标是找到图 $G$ 的一棵生成树，使得该生成树的分支顶点数量最少。这里，图 $G$ 中的一个顶点 $v$ 若其度数 $\delta$ 大于 2（即 $\delta(v) > 2$），则称该顶点为分支顶点。

此前，Cerulli 等人提出了一种混合整数线性规划模型来求解 MBV，该模型能找到最优解，但仅适用于小规模实例。对于大规模实例，他们提出了 3 种启发式方法：边加权策略（EWS）、节点着色启发式（NCH）以及 EWS 和 NCH 的组合策略（CS）。

本文提出了一种基于迭代细化方法的新启发式算法来解决 MBV 问题。实验结果表明，该算法在 78% 的测试实例中能找到比现有文献中更好的解，在求解约束生成树相关问题上具有很大的潜力。

2. 迭代细化与约束生成树

在解决 NP 完全的约束生成树问题时，迭代细化算法（IR）是一种常用的方法。考虑一个由加权图 $G$ 和两个约束 $C1$、$C2$ 定义的约束生成树问题，其中 $C1$ 通常是最小化生成树的边权之和。

IR 算法的基本思想是从一棵部分满足约束的生成树（仅满足 $C1$）开始，在每次迭代中朝着完全满足约束的生成树（满足 $C2$）的方向移动，但会牺牲在 $C1$ 方面的最优性。具体步骤如下：

Algorithm 1. Iterative-Refinement-Algorithm(G, C1, C2)