22、小直径图 $P_m^n$ 的 $k$-无线电着色与有向流网络的容量保持子图

小直径图 $P_m^n$ 的 $k$-无线电着色与有向流网络的容量保持子图

在图论的研究中，$k$-无线电着色和有向流网络的容量保持子图是两个重要的问题。下面将详细介绍这两个问题的相关内容。

小直径图 $P_m^n$ 的 $k$-无线电着色

在图的 $k$-无线电着色问题中，我们的目标是为图 $P_m^n$ 找到一个 $k$-无线电着色 $\psi$，并证明其跨度与定理中给出的 $rck(P_m^n)$ 值相同。

顶点排序规则

首先，我们需要定义一些顶点的排序规则，这些规则将用于构建顶点序列：
1. 规则 1（$\prec_1$） ：若 $j < j’$ 或者 $j = j’$ 且 $(-1)^{j - 1}i < (-1)^{j’ - 1}i’$，则 $r_{ij} \prec_1 r_{i’j’}$。
2. 规则 2（$\prec_2$） ：若 $j < j’$ 或者 $j = j’$ 且 $(-1)^{m - j}i < (-1)^{m - j’}i’$，则 $r_{ij} \prec_2 r_{i’j’}$。
3. 规则 3（$\prec_3$） ：若 $j < j’$ 或者 $j = j’$ 且 $i > i’$，则 $r_{ij} \prec_3 r_{i’j’}$。
4. 规则 4（$\prec_4$） ：若 $j < j’$ 或者 $j = j’$ 且 $(-1)^{j}i < (-1)^{j’}i’$，