40、弦图子类的顶点 k 路割问题多项式时间算法

弦图子类的顶点 k 路割问题多项式时间算法

在图论中，顶点 k 路割问题是一个重要的优化问题。本文将介绍针对区间图、圆弧图和置换图等弦图子类的顶点 k 路割问题的多项式时间算法。

1. 递归关系与时间复杂度

对于给定图 G 的团树中的节点，我们定义了一个函数 M[t; P(Kt), w] 来表示某种可行解的大小。通过考虑过计数的情况，我们得到了如下递归关系：
[M[t; P(Kt), w] \leq |CUT(P(Kt))| - Child(P(Kt)) + \sum_{i = 1}^{\ell} M[t_i; P(K_{t_i}), w_i]]
其中 (P(K_t) \perp P(K_{t_i})) 对于每个 (i \in [\ell]) 成立，且 (w = \sum_{i}(w_i + \psi(P(K_{t_i})))。

同时，我们也证明了 (M[t; P(Kt), w] \geq R)，从而得出递归关系的正确性。

时间复杂度方面，团树中有 (O(n)) 个节点，每个节点的条目 (M[.;.,.]) 数量上限为 (k2^{O(\sqrt{s} \log s)})。计算一个条目需要考虑子节点中兼容的分区。具体计算 (M[t; P(Kt), w]) 的步骤如下：
1. 对节点 t 的子节点进行排序：(t_1 \prec t_2 \prec \cdots \prec t_{\ell})。
2. 存储每个子节点 (t_i) 中与 (P(K_t)) 兼容的分区 (P(K_{t_i})) 以及 (w_i \leq k) 对应的条目 (M[t_i; P(K_{t_i}), w_i])。
3. 对于每个 (t_i)，计