22、弦图邻域多项式与不完整有向完美系统发育问题研究

弦图邻域多项式与不完整有向完美系统发育问题研究

弦图邻域多项式相关内容

弦图是图论中的重要研究对象，计算弦图的邻域多项式是一个具有挑战性的问题，通常属于NP - 难问题。不过，其计算算法的运行时间与一个关键参数“锚宽度”密切相关。

锚宽度的概念

对于图(G)，锚宽度是满足对于所有团(C)都有(\vert A_G(C)\vert\leq k)的最小(k)值。如果弦图子类的锚宽度是多项式有界的，那么就可以得到一个多项式时间算法来计算邻域多项式。

不同弦图子类的锚宽度分析

• 分裂图 ：分裂图是一种简单且广为人知的弦图子类，但它的锚宽度不是多项式有界的。对于所有(n\in N)，存在一个具有(n)个顶点的分裂图，其锚宽度至少为(2^{\frac{n}{2}} - 1)。构造方法是：从一个大小为(m)的团(C = {c_1, \ldots, c_m})开始（这里(n = 2m)），附加顶点(p_1, \ldots, p_m)，使得每个(p_i)（(1\leq i\leq m)）与所有(j\neq i)的(c_j)相邻。这个构造的图是分裂图，因为(C)是团，({p_1, \ldots, p_m})是独立集。所有顶点(p_i)都在(C)的外围(P_C)中，所以(\vert P_C\vert = m=\frac{n}{2})。(C)的所有非空子集都是锚集，因此该图的锚宽度是(2m - 1 = 2^{\frac{n}{2}} - 1)。这意味着之前介绍的计算邻域多项式的算法在处理分裂图时可能需要超多项式时间。
• 弦可比图 ：对于弦可比图，其锚