36、基于结构参数的分组支配问题算法研究

基于结构参数的分组支配问题算法研究

在图论中，分组支配集问题是一个重要的研究领域。本文将探讨基于结构参数（如顶点覆盖数和孪生覆盖数）的分组支配集问题的算法，以及利用算法元定理来解决该问题的相关结果。

1. 基于顶点覆盖数的算法

我们首先关注基于顶点覆盖数的分组支配集问题算法，将分别讨论 2 - 分组支配集、3 - 分组支配集和一般 r - 分组支配集的情况。

1.1 2 - 分组支配集算法

对于 2 - 分组支配集问题，即配对支配集问题，设图 $G = (V, E)$，$J$ 是 $G$ 的一个顶点覆盖，$I = V \setminus J$ 是一个独立集。算法的基本思路是对顶点覆盖 $J$ 进行划分。对于最小支配集 $D$，顶点覆盖 $J$ 被划分为三部分：
- $J \cap D$
- $(J \setminus D) \cap N(J \cap D)$，即 $J \setminus D$ 中被 $J \cap D$ 支配的顶点
- $J \setminus N[J \cap D]$，即剩余的顶点

为了调整算法以适应 2 - 分组支配集问题，我们需要处理支配集包含完美匹配的条件。对于每个子集 $J_D \subseteq J$，我们找到最小规模的子集 $I_D \subseteq I$，使得 $J_D \cup I_D$ 能形成一个 2 - 分组支配集。我们定义一个辅助表 $A[X, Y, j]$，表示满足以下条件的 $I’ \subseteq {v_1, v_2, \ldots, v_j}$ 的最小规模：
1. $Y \subseteq N(I’)$
2. $I’ \cup X$