4、消防与多区间图参数化复杂度研究

消防与多区间图参数化复杂度研究

在算法领域，图论相关的问题一直是研究的热点，尤其是涉及到参数化复杂度的问题。本文将围绕消防问题和多区间图中的支配集问题展开，详细探讨其参数化复杂度的相关成果和未解难题。

消防问题的参数化复杂度

1. 算法运行时间分析
   • 当 (a < r) 时，算法会对 (N(B) \setminus P) 中大小至多为 (a) 的所有子集进行分支操作。分支数量为 (\sum_{j = 0}^{a} \binom{r}{j} \leq 2^r - 1)。
   • 引入度量 (\alpha = (k - |B|) + (i - |P|)) 来确定时间界限。在燃烧过程第一轮开始时，(\alpha = (k - 1) + (1 - 0) = k)。用 (T(\alpha)) 表示度量值为 (\alpha) 的图所需的最大步数。当 (\alpha \leq 0) 时，(T(\alpha) = O(n))。
   • 假设算法在步骤 1 或 2 未停止，它会分支为至多 (2^r - 1) 种受保护顶点的选择。无论算法决定保护多少顶点，度量值都会减少 (r - 1)，因此有不等式 (T(\alpha) \leq (2^r - 1)T(\alpha - r + 1) + O(n))。由于算法未在步骤 1 或 2 停止，可推断 (r \geq 2)，最坏情况出现在 (r = 2) 时。
   • 由此得出，对于一般图的“除 (k) 个顶点外拯救所有顶点”问题，存在一个 (O(3^k n)) 时间且多项式空间的算法。