27、调度问题的高效近似算法与分组技术

调度问题的高效近似算法与分组技术

1. 近似算法基础

在多目标优化问题中，近似算法是解决复杂问题的有效手段。对于无关并行机器调度问题，我们旨在找到一种高效的方法来近似最优解。

1.1 近似 Pareto 曲线

在双目标最小化问题中，近似 Pareto 曲线是一个重要的概念。给定一个实例 $x$ 和目标函数 $f_i$（$i = 1, \ldots, k$），以及一个 $\epsilon > 0$，$\epsilon$-近似 Pareto 曲线 $P_{\epsilon}(x)$ 是一组解 $s$，使得不存在其他解 $s’$，对于所有 $s \in P_{\epsilon}(x)$，有 $(1 + \epsilon)f_i(x, s’) < f_i(x, s)$ 对于某些 $i$ 成立。

我们的目标是为双准则问题找到更强的结果，即寻找一组解，在最大完工时间准则上近似支配所有其他解，在成本准则上绝对支配所有其他解。为此，我们引入了 $(\epsilon, 0)$-近似 Pareto 曲线的定义。

1.2 $(\epsilon, 0)$-近似 Pareto 曲线的定义

给定一个双准则最小化问题的实例 $x$，$(\epsilon, 0)$-近似 Pareto 曲线 $P_{\epsilon, 0}(x)$ 是一组解 $s$，使得不存在其他解 $s’$，对于所有 $s \in P_{\epsilon, 0}(x)$，有 $(1 + \epsilon)T(s’, x) < T(s, x)$ 或 $C(s’, x) < C(s, x)$。

一个解 $s$ 被称为 $(\epsilo