10、平面无向图中不相交最短路径长度的线性时间计算

平面无向图中不相交最短路径长度的线性时间计算

在图论领域，计算平面无向图中不相交最短路径的长度是一个重要的问题。本文将详细介绍一种能够在线性时间内计算这些路径长度的算法，该算法不依赖复杂的数据结构，易于实现。

1. 预备知识

在深入研究算法之前，我们需要了解一些基本的定义和符号。
- 图的基本定义 ：设 $G = (V(G), E(G))$ 是一个平面图，即具有固定平面嵌入的图。$F_G$ 表示图 $G$ 的面集，$f^{\infty} G$ 表示其无限面。在不引起混淆的情况下，我们用“面”同时表示边界循环和由边界循环界定的有限区域，无限面简记为 $f^{\infty}$。
- 图的运算 ：对于两个图 $G = (V(G), E(G))$ 和 $H = (V(H), E(H))$，定义以下运算和关系：
- $G \cup H = (V(G) \cup V(H), E(G) \cup E(H))$
- $G \cap H = (V(G) \cap V(H), E(G) \cap E(H))$
- $H \subseteq G \Leftrightarrow V(H) \subseteq V(G) \land E(H) \subseteq E(G)$
- $G \setminus H = (V(G), E(G) \setminus E(H))$
- 路径相关定义 ：设 $\omega : E(G) \to R^+$ 是边的权重函数，该函数可扩展到图 $G$ 的子图 $H$，使得 $\omega(H) = \sum